Un finito no comutativo anillo de Cardenal específico

Question

Todos los anillos se supone que tiene una unidad el elemento $1$ aquí.

Deje $N\subset \mathbb N_{\geqslant 2}$ ser el conjunto tal que $n\in N $ si, y sólo si, no existe un no conmutativa anillo del cardenal $n$.

Por ejemplo, $16\notin N$ porque $A=M_2(\mathbb F_2)$ es no conmutativa anillo y $\vert A\vert=2^4=16$.

En otras palabras:

$$N=\{n\geqslant 2,\ \text{all rings with unit of cardinality $n$ are commutative}\}.$$

Mi conjetura es la siguiente (no tengo un fuerte creen de su veracidad):

Conjetura. El conjunto $N$ es igual al conjunto $\mathbb P$ de los números primos.

Lo que yo hice.

• Podemos empezar por demostrar que $\mathbb P\subset N$.

Deje $(A,+,\times)$ ser un anillo del cardenal $p$ donde $p$ es un número primo. A continuación, $(A,+)$ es un grupo, y por $p$ es un número primo:

$$(A,+)\simeq \mathbb Z/p\mathbb Z.$$

Así que si $a\in A\setminus \{0\}$, $a$ generar $(A,+)$, de modo que existe $n\in \mathbb Z$ (que $p\nmid n$) tal que $na=1$. Ya podemos ver el $na$ en $\mathbb Z/p\mathbb Z$, $a$ es invertible en a $A$, lo $A$ es un campo.

Podemos a la conclusión de que por el teorema de Wedderburn que $A$ es conmutativa, por lo $p\in N$.

• Podemos comprobar que la $n\notin N$ donde $n$ es de la forma:

$$n=p^{km^2}$$

donde $p$ es un número primo, $k\in \mathbb N_{\geqslant 1}$$m\in \mathbb N_{\geqslant 2}$.

Podemos ver el $A=M_m(\mathbb F_{p^k})$ que es un no conmutativa finito anillo bajo nuestras hipótesis.

• Podemos comprobar que la $n\notin N$ donde $n$ es de la forma:

$$n=p^{k\frac{m(m+1)}2}$$

donde $p$ es un número primo, $k\in \mathbb N_{\geqslant 1}$$m\in \mathbb N_{\geqslant 2}$.

Podemos ver el $A=T_m(\mathbb F_{p^k})$ el subconjunto de triangular superior de la matriz de $M_m(\mathbb F_{p^k})$ que es un no conmutativa finito anillo bajo nuestras hipótesis.

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Mis preguntas.

• Yo tendería a pensar que $4$ $6$ son elementos de $N$, pero soy incapaz de encontrar un contra-ejemplo.

• Me pregunto si es o no $p^q\in N$ donde $p,q$ son números primos y $q>3$.

• Más en general, estoy interesado de cualquier tipo de información sobre el conjunto de $N$.

Answer 1

El conjunto $N$ es exactamente el conjunto de $n$ tal que no es el primer $p$ tal que $p^3\mid n$.

En primer lugar, para cualquier prime $p$, el anillo de $R$ $2\times 2$ superior triangular de matrices con entradas en $\mathbb{F}_p$ es no conmutativa y ha $p^3$ elementos. Si $n=p^3m$,$A=\mathbb{Z}/m\times R$, entonces es un no conmutativa anillo con $n$ elementos.

Por el contrario, supongamos $n$ no es divisible por $p^3$ para cualquier prime $p$ $A$ es un anillo con $n$ elementos. Decir $n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ para los números primos $p_1,\dots,p_k$, $e_i=1$ o $2$ por cada $i$. Considerar el subgrupo aditivo $B\subseteq A$ generado por $1$. Tenga en cuenta que cada una de las $p_i$ debe dividir $|B|$: si $p_i$ no divide $B$, $p_i$ tiene un inverso multiplicativo de mod $|B|$, lo que significa que $p_i\cdot 1$ es una unidad en $A$. Pero desde $p_i$ divide $|A|$, hay un valor distinto de cero $a\in A$ tal que $p_i\cdot a=0$, lo $p_i\cdot 1$ no puede ser una unidad.

Por lo $|B|$ es divisible por $p_1\cdots p_k$. El orden del cociente grupo $A/B$ es por lo tanto un factor de $p_1\cdots p_k$. En particular, $|A/B|$ es squarefree, lo que significa que es un grupo cíclico. Deje $a_0\in A$ ser tal que su imagen en $A/B$ genera $A/B$.

Ahora para cualquier $a\in A$, no es un número entero $m$ tal que $a-ma_0\in B$, por lo que existe un entero $\ell$ tal que $a-ma_0=\ell\cdot 1$. Así, cada elemento de a $A$ tiene la forma $ma_0+\ell\cdot 1$ algunos $m,\ell\in\mathbb{Z}$. De ello se desprende que $A$ es conmutativa, ya que $a_0$ viajes con $1$, por lo que cualquier elemento de la forma $ma_0+\ell\cdot 1$ conmuta con cualquier otro elemento de la misma forma.