Orden lineal y combinatoria de Ramsey

Question

Demostrar que los siguientes son equivalentes para un % cardinal infinito $\kappa$.

(1) $\kappa \to (\kappa)^2_2$

(2) en cualquier conjunto linealmente ordenado de cardinalidad $\kappa$ allí es un bien ordenado o un subconjunto de reverso-bien-ordenado de cardinalidad $\kappa$.

Ya probé (1) implica (2) - que es bastante recta - pero estoy teniendo problemas en la dirección contraria.

Cualquier consejo sería apreciado.

Answer 1

En primer lugar demostrar que $\kappa \to (\kappa)^2_2$ mantiene iff $\kappa$ es inaccesible y cada una de las $\kappa$ árbol tiene una rama - Esta es una de las caracterizaciones de un débilmente compacto cardenal y de una prueba se puede encontrar en Kanamori. Supongamos ahora que cada orden lineal en $\kappa$ tiene un subconjunto de tamaño $\kappa$ que está bien ordenado, o invertir bien ordenado. Tenga en cuenta que esto implica inmediatamente $2^{\delta} < \kappa$ por cada $\delta < \kappa$ - a considerar de otra manera el orden lexicográfico en $2^{\delta}$ menos $\delta$. Ahora fijar un $\kappa$ árbol de $T$. Podemos suponer que $T \subseteq {}^{< \kappa} \kappa$, $|T| = \kappa$ y a cada nivel de $T$ tiene el tamaño de $< \kappa$. Para $f, g \in T$, vamos a $f \prec g$ si $g$ correctamente extiende $f$ o $f \upharpoonright \alpha = g \upharpoonright \alpha$ $f(\alpha) < g(\alpha)$ para algunos $\alpha \in dom(f) \cap dom(g)$. $\prec$ es un orden lineal en $T$, por lo que hay algunos $\prec$-aumento o $\prec$-disminución de la secuencia $ \langle f_i : i < \kappa \rangle$$T$. Ahora muestran que por cada $\delta < \kappa$ existe $i_{\delta} < \kappa$ tal que para todo $i_{\delta} < i < j < \kappa$, $f_i \upharpoonright \delta = f_j \upharpoonright \delta$ y que lo use para la construcción de un cofinal sucursal en $T$.