Segundo lema generalizado de Borel-Cantelli

Question

Una versión generalizada del segundo lema de Borel-Cantelli dice

Teorema 5.3.2. Segundo lema de Borel-Cantelli, II. Sea $\mathcal F_n, n \ge 0$ sea una filtración con $F_0 = \{\emptyset, \Omega\}$ y $A_n , n \ge 1$ una secuencia de eventos con $A_n \mathcal F_n$ . Entonces $$ \{A_n \,i.o.\} = \left\{\sum_{n \ge 1} P (A_n |\mathcal F_{n1}) =\infty \right\}. $$

Un ejercicio de este lema es

Ejercicio 5.3.6. Mostrar $\sum_{n \ge 2} \mathbb P (A_n | \cap_{m=1}^{n1} A_m^c ) = \infty$ implica $P (_{m \ge 1} A_m^c ) = 0$ .

Creo que podemos demostrar que $\cap_{m \ge 1} A_m^c = \emptyset$ . Mi prueba es así: Sea $B_n = \cup_{m = 1}^n A_n$ . Sea $\mathcal F_n = \sigma(A_1,\dots,A_n)$ que forma una filtración. Es fácil comprobar que $$ \mathbb P (A_n | B_{n-1}^c ) = \mathbb P (A_n | \mathcal F_{n-1})(\omega) $$ cuando $\omega \in B_{n-1}^c$ .

Supongamos que existe $\omega \in \cap_{m \ge 1} A_m^c$ . Del lema anterior se deduce que $$ \omega \in \left\{\sum_{n \ge 1} P (A_n |\mathcal F_{n1}) =\infty \right\} = \{A_n \,i.o.\}. $$ En otras palabras, $\omega \in \cap_{m \ge 1} \cup_{n \ge m} A_n$ que se contradice con $\omega \in \cap_{m \ge 1} A_m^c$ .

¿Es esta la prueba correcta?

Answer 1

La igualdad de conjuntos en el lema que mencionas sólo es válida a.s., por lo que no es posible demostrar que $\cap_{n \ge 1} A_n^C = \emptyset$ . Lo mejor que puedes probar es que tiene probabilidad $0$ . Aparte de eso, su prueba parece correcta.

Para arreglar la prueba, basta con concluir del lema que ya que, como señalas correctamente, $$\bigcap_{n\ge 1} A_n^C\subseteq \left\{\sum_{n \ge 1} P (A_n |\mathcal F_{n1}) =\infty \right\},$$ entonces, hasta un conjunto de probabilidades $0$ , $\{A_n \ i.o.\}$ contiene el conjunto $\cap_{n\ge 1} A_n^C$ . Como estos dos conjuntos son disjuntos, esto implica que $P(\cap_{n\ge 1} A_n^C)=0$ .