¿Existe límite o no? $\lim \limits_{n \to\infty}\ \left[n-\frac{n}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right] $

Question

Determina si existe o no el siguiente límite, y halla su valor en caso de que exista: $$\lim \limits_{n \to\infty}\ \left[n-\frac{n}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right] $$

Creo que el límite de $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ es $e$ pero no estoy seguro de si puedo utilizarlo o no en el cálculo del límite. ¿Podría ayudarme a resolverlo? Gracias.

Answer 1

Obsérvese que podemos escribir

$$\begin{align} n-\frac ne\left(1+\frac1n\right)^n&=n-\frac ne e^{n\log\left(1+\frac1n\right)}\\\\ &=n-\frac ne e^{n\left(\frac1n -\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)}\\\\ &=n-n\left(1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \\\\ &=\frac12+O\left(\frac1n\right) \end{align}$$

Answer 2

Esta respuesta es muy similar a la del Dr. MV, pero con un enfoque ligeramente diferente.

En $$A_n=n-\frac{n}{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ Veamos primero $$B_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ Toma el logaritmo $$\log(B_n)=n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$$ Desde $n$ es grande, utilice Taylor para $\log(1+x)$ cuando $x$ es pequeño y sustituir $x$ por $\frac 1n$ . Por lo tanto, usted tiene $$\log(B_n)=n\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\Big)=1-\frac{1}{2 n}+\frac{1}{3 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ Ahora $$B_n=e^{\log(B_n)}=e-\frac{e}{2 n}+\frac{11 e}{24 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ Volver $A_n$ $$A_n=n-\frac n e\Big(e-\frac{e}{2 n}+\frac{11 e}{24 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) \Big)=\frac{1}{2}-\frac{11}{24 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ que muestra el límite y también cómo se aproxima a él.

A título ilustrativo, utilizando $n=10$ , $A_n\approx 0.458155$ mientras que la fórmula anterior da $\frac{109}{240}\approx 0.454167$ .