Existe una infinita subconjunto $S\subseteq\mathbb{R}^3$ de manera tal que ninguno de los tres vectores en $S$ son linealmente independientes.

Question

Podría cualquiera me acaba de dar sugerencia para esto?

Existe una infinita subconjunto $S\subseteq\mathbb{R}^3$ de manera tal que ninguno de los tres vectores en $S$ son linealmente independientes. Verdadero o falso?

Answer 1

Intente $\left(\begin{matrix}1\\t\\t^2\end{matrix}\right)$$t\in\mathbb R$. ¿Sabes para calcular $$\left\vert\begin{matrix}1&1&1\\r&s&t\\r^2&s^2&t^2\end{matrix}\right\vert? $$

Answer 2

Tres vectores en $\mathbb{R}^3$ son linealmente dependientes si y sólo si se encuentran en un plano.

Considere el siguiente proceso para la construcción de $S$. Podemos empezar con el conjunto vacío, y elegir cualquiera de los dos vectores $v_1, v_2 \in \mathbb{R}^3$ y agregarlos a $S$. A continuación, elegir un tercer vector $v_3$ agregar a $S$, debemos asegurarnos de que no es en el único plano que contiene (es decir, se extendió por) $v_1$$v_2$. Por lo tanto $v_3$ puede ser cualquier vector en $\mathbb{R}^3 \backslash span(v_1, v_2)$.

Del mismo modo, si en algún momento $S = \{v_1, \ldots, v_k\}$, podemos añadir a $S$ cualquier vector $v_{k+1}$$\mathbb{R}^3 \backslash \bigcup_{x_i, x_j} span(x_i, x_j)$. Tenga en cuenta que $\bigcup_{x_i, x_j} span(x_i, x_j)$ es finito, de la unión de los planos, de modo que nunca puede ser todos los de $\mathbb{R}^3$. De esta manera podemos elegir un conjunto infinito con la propiedad deseada.

Answer 3

Considere los vectores de la forma $v_x=(1,x,x^2)^T$. Entonces para cualquier distintos $x,y,z\in \mathbb R$ matriz $(v_x v_yv_z)$ es nonsingular (matriz de Vandermonde), por lo que $v_x$, $v_y$, $v_z$ son linealmente independientes.

Answer 4

La curva paramétrica $t\mapsto(1,t,t^2)$ tiene la propiedad de que cualquiera de las tres distintos puntos en los que son linealmente independientes (sin el "distinto", evidentemente, no puede tener una solución). Para comprobarlo basta calcular el determinante, que es Vandermonde.

Answer 5

Inspirado por la matriz de Vandermonde ejemplo, supongamos $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ser estrictamente convexa de la función. Entonces $$\left\vert\begin{matrix}1&1&1\\x&y&z\\f(x)&f(y)&f(z)\end{matrix}\right\vert\not=0$$ para cualquiera de las tres distintos números de $x,y,z$.