Local lineal incrustación de objetos (LLE) elimina la necesidad de calcular la distancia entre los objetos distantes y recupera global de la estructura no-lineal locales ajustes lineales. LLE es ventajoso porque no involucra parámetros tales como las tasas de aprendizaje o criterios de convergencia. LLE también funciona bien con la dimensionalidad intrínseca de $\mathbf{Y}$. La función objetivo para LLE es
\begin{equation}
\zeta(\mathbf{Y})=(\mathbf{Y}- \mathbf{WY})^2\\
\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad = \mathbf{Y}^T (\mathbf{I}-\mathbf{W})^T (\mathbf{I}-\mathbf{W})\mathbf{Y}
\end{equation}
La matriz de pesos $\mathbf{W}$ elementos $w_{ij}$ para los objetos de $i$ $j$ se ponen a cero si $j$ no es un vecino más cercano de $i$, de lo contrario, los pesos de los K-vecinos más cercanos de objeto $i$ se determina a través de un mínimo de cuadrados de
\begin{equation}
\mathbf{U}=\mathbf{G}\boldsymbol{\beta}
\end{equation}
donde la variable dependiente $\mathbf{U}$ $K \times 1$ vector de, $\mathbf{G}$ $K \times K$ matriz de Gram para todos los vecinos más cercanos de objeto $i$, e $\boldsymbol{\beta}$ $K \times 1$ vector de pesos que se siga suma-a-la-unidad restricciones.
Deje $\mathbf{D}$ ser simétrica positiva semidefinite $K \times K$ matriz de distancias para todos los pares de los K-vecinos más cercanos de $p$-dimensiones del objeto $\mathbf{x}_i$. Se puede demostrar que $\mathbf{G}$ es igual a la doble centrado en la matriz de distancias $\boldsymbol{\tau}$ con elementos
\begin{equation}
\tau_{lm}=-\frac{1}{2} \left( d_{lm}^2 - \frac{1}{K}\sum_l d_{lm}^2 - \frac{1}{K}\sum_m d_{lm}^2 + \sum_l\sum_m d_{lm}^2 \right).
\end{equation}
El $K$ los coeficientes de regresión se determina numéricamente utilizando
\begin{equation}
\underset{K \times 1}{\boldsymbol{\beta}}=\underset{K \times K}{(\boldsymbol{\tau}^T \boldsymbol{\tau})}^{-1}\underset{K \times 1}{\boldsymbol{\tau}^T\mathbf{U}}.
\end{equation}
y son revisados para confirmar que suma a la unidad. Los valores de $\boldsymbol{\beta}$ están incrustados en fila $i$ $\mathbf{W}$ en las distintas ubicaciones de la columna correspondiente a los K-vecinos más cercanos de objeto $i$, así como la transposición de los elementos. Esto se repite para cada una de las $i$th objeto en el conjunto de datos. Merece destacar que si el número de vecinos más cercanos a $K$ es demasiado bajo, entonces $\mathbf{W}$ puede ser escasa causando eigenanalysis a ser difícil. Se observó que $K=9$ vecinos más cercanos resultado en $\mathbf{W}$ matrices que no contienen patologías durante eigenanalysis. La función objetivo se minimiza por encontrar el más pequeño distinto de cero autovalores de
\begin{equation}
(\mathbf{I}-\mathbf{W})^T(\mathbf{I}-\mathbf{W})\mathbf{E}=\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{D}\mathbf{E}.
\end{equation}
La forma reducida de $\mathbf{X}$ está representado por $\mathbf{Y}=\mathbf{E}$ donde $\mathbf{E}$ tiene dimensiones de la $n \times 2$ basado en los dos últimos valores propios de a $\boldsymbol{\Lambda}$.
