Antes de responder a tu pregunta, voy a recordar lo que sucede con el diádica mapa.
El caso de $\alpha=1/2$
Deje $x$$[0,1)$. Podemos escribir un buen binario de expansión para $x$; en otras palabras, tenemos un surjection $\varphi: \{0,1\}^{\mathbb{N}} \to [0,1)$ tal forma que:
$$\varphi ((x_k)_{k \in \mathbb{N}}) = \sum_{k=1}^{+ \infty} x_k 2^{-k}.$$
Si queremos dotar a $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ con el producto de la medida de dar el mismo peso a $0$'s y $1$'s ("cara o cruz") y $[0,1)$ con la medida de Lebesgue, entonces este es un isomorfismo de medida espacios. El cambio de Bernoulli $\sigma : (x_k) \mapsto (x_{k+1})$ es, a continuación, conjugado con la diádica mapa de $T:x \mapsto 2x [1]$. El diádica mapa es básicamente el mismo mapa como para $\alpha = 1/2$.
Ahora, queremos hacer a la inversa: partimos de la diádica mapa, y tratar de codificar de alguna manera. Si ponemos $A_0 = [0,1/2)$$A_1=[1/2,1)$, entonces podemos escribir:
$$\varphi^{-1} (x) = (1_{A_1} (T^k (x)))_{k \in \mathbb{N}}.$$
En otras palabras, hacemos un seguimiento de la órbita de $x$ buscando, en cada paso, en el que el elemento de la partición $\{A_0, A_1\}$ el punto de $T^k (x)$ es. Podemos hacer aún más abstracto de codificación, tales como $x \sim (b_k)_{k \in \mathbb{N}}$ donde cada una de las $b_k$ toma valor en $\{A_0, A_1\}$. Este paso es muy conveniente: todavía podemos ver la diádica mapa como una Bernoulli cambio en $\{A_0, A_1\}^{\mathbb{N}}$, pero no necesitamos este tipo algebraico de milagro que se vincula directamente con el binario de expansión. Esta construcción puede ser generalizado a un mayor número de símbolos.
El caso general
Como dije en mi comentario, una buena partición es $\{A_0, A_1\}$ donde$A_0 = [0,\alpha)$$A_1=[\alpha,1)$. Bueno, usted puede hacer casi lo que he dicho antes : desde esta partición genera la costumbre $\sigma$-álgebra en $[0,1)$, usted puede codificar cualquier punto de $x$ $[0,1)$ por una secuencia $(b_k)_{k \in \mathbb{N}}$ donde $b_k = A_i$ si sólo si $T^k (x) \in A_i$.
Ahora, la pregunta pertinente es: ¿cuál es el empuje hacia adelante de la medida de Lebesgue por esta transformación? Si denotamos por a $\mu$ esta medida, entonces los sistemas de $([0,1), \text{Leb}, T)$ $(\{A_0, A_1\}^\mathbb{N}, \mu, \sigma)$ donde $\sigma$ es el cambio, son isomorfos.
Buenas noticias: este es un producto de la medida, lo que da un peso de $\alpha$ $A_0$e de $1-\alpha$$A_1$. Esto proviene del hecho de que $T$ es afín en cada elemento de la partición, y tiene la imagen completa. Yo te permitirá demostrar que; creo que la forma más fácil es demostrar la propiedad de Markov para el cambio y, a continuación, para demostrar que la matriz de transición es trivial, pero me puede faltar un simple argumento. Una vez que han demostrado que los dos sistemas son conjugados, tiene casi ganado : sus entropías son los mismos, y el cálculo de la entropía de un Bernoulli cambio es sencillo.
