¿Lo que ' s la justificación para la definición de la integral (definitiva) con una cantidad infinita numerable?

Question

Para calcular el área bajo una función continua $f$ $\Bbb{R\to R}$ en el intervalo de $[a,b]$, integración de Riemann se emplea a menudo que podría definirse como

$$\lim_{N \to \infty} \sum_{i=0}^{N-1} \frac{(b-a)}{N} f\left(a+i\frac{b-a}{N}\right)$$

La intuición dada detrás de esto es dividir el intervalo en pequeños y pequeñas piezas y muestra " la función en cada intervalo para calcular las áreas.

Sin embargo, no importa cuán grande sea N se, todavía va a hacer sólo una suma finita. En el límite de $N\to\infty$ a continuación, vamos a tomar una muestra de un infinito contable de los puntos de la función.

Pero la función del dominio del es $\Bbb R$, que es uncountably infinito. Así que, intuitivamente, ¿cómo podemos esperar que muestra fielmente con sólo un infinito contable de las muestras? Ya que no hay bijection de$\Bbb N$$\Bbb R$, parece que siempre vamos a 'miss' algunos puntos de f, lo que podría contribuir a la zona.

Answer 1

Una función continua en el intervalo $[a,b]$ está completamente determinada por sus valores en un subconjunto denso del intervalo. Hay un montón de conjuntos densos que son contables.

Así que para funciones continuas, una countably infinito de la muestra debe ser suficiente. Si la muestra proporciona suficiente información para determinar la función, se debe proporcionar suficiente información para determinar la integral.

Y resulta que una función es Riemann integrable en $[a,b]$ precisamente si es continua en casi todas partes, en el sentido de Lebesgue medida.

Answer 2

Es por ello que nos vemos obligados a considerar sólo una subclase apropiada de toda la clase de funciones, es decir, las funciones "Riemann-integrable".