Qué mapas conformados UHP $\to$ ¿La UHP se extiende continuamente hasta el cierre?

Question

¿Todo mapa conforme del semiplano superior $\{\text{Im }z >0\}$ sobre sí mismo se extienden continuamente a un mapa de su cierre $\{\text{Im }z \geq 0\}$ a sí mismo? Si no es así, ¿cuáles lo hacen?

En este respuesta (escrita por un estudiante, por lo que puede haber errores), se hacen algunas afirmaciones que estoy tratando de probar.

Primero: Cualquier mapa $\varphi$ que tiene tal extensión $\tilde{\varphi}$ es tal que $\tilde{\varphi}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ . ¿Por qué? Ciertamente veo que $\tilde{\varphi}(\mathbb{R}) \supseteq \mathbb{R}$ pero no veo por qué deben ser iguales.

Segundo: En este caso $\tilde{\varphi}(\mathbb{R})=\mathbb{R} \Longrightarrow \tilde{\varphi}$ es un FLT . Para tratar de mostrar esto, he considerado la precomposición y la postcomposición $\tilde{\varphi}$ con un mapa que lleva la UHP al disco. Entonces la composición es analítica, lleva el disco al disco y preserva $S^1$ . Si supiera que es biyectiva, podría demostrar que es de la forma $$e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar{a}z},$$ pero al no saber que es biyectiva, no sé qué hacer.

Answer 1

La correspondencia fronteriza es complicada. Creo que es mejor mostrar que el mapa es un FLT, y sólo entonces tratar el límite.

Empecemos por el disco de la unidad $\mathbb D$ .

Reclamación 1 . Todo mapa conformacional $f$ de $\mathbb D$ sobre sí misma, de manera que $f(0)=0$ es la rotación, $f(z)=e^{i\theta} z$ .

Prueba : Aplicar el lema de Schwarz a $f$ y a $f^{-1}$ Para concluir que la igualdad es válida, utilice la declaración de igualdad en el lema.

Reclamación 2 . Todo mapa conformacional $f$ de $\mathbb D$ en sí mismo es un FLT.

Prueba : Aplicar la reivindicación 1 a $g(z) = \dfrac{f(z)-f(0)}{1-\overline{f(0)}f(z)}$ .

Reclamación 3 . Todo mapa conformacional $f$ de la UHP sobre sí misma es un FLT.

Prueba : Aplicar la reivindicación 2 a $g = \varphi\circ f\circ \varphi^{-1}$ donde $\varphi(z)=\frac{z-i}{z+i}$ mapea la UHP en $\mathbb D$ . Utiliza el hecho de que el FLT forma un grupo.

Reclamación 3 . Todo mapa conformacional $f$ de la UHP sobre sí misma es de la forma $z\mapsto \dfrac{az+b}{cz+d}$ con verdaderos $a,b,c,d$ .

Prueba . Ya sabemos que $f$ es un FLT. Por lo tanto, es continua en todas partes en $\mathbb C$ (excepto quizás un punto), y la imagen de $\mathbb R$ es un círculo o una línea. Como sabes, contiene $\mathbb R$ . Por lo tanto, es igual a $\mathbb R$ . Por el principio de reflexión, $\overline{f(\bar z)}= f(z)$ de donde se desprende la conclusión sobre $a,b,c,d$ sigue.

Pero, en realidad, no es necesario complicarse con los coeficientes en este punto. Sólo hay que tener en cuenta que la simetría $\overline{f(\bar z)}= f(z)$ implica que si $z_0$ es un polo de $f$ Así es $\bar z_0$ . Pero un FLT tiene como máximo un polo. Por lo tanto, o bien hay un polo en $\mathbb R$ o $f$ es lineal.