Desde $2+3=5$ Conozco un ejemplo sencillo de un triple de números enteros coprimos $(a,b,c)$ , tal que $$a+b=c,$$ siendo cada sumando un producto de primos distintos $a=2$ , $b=3$ y $c=5$ y su producto es un primorial $$abc=2\cdot3\cdot 5.$$ Es el primorial u orden $3$ es decir, el número entero positivo $30$ .
Creo que el siguiente problema debe estar en la literaute pero tengo curiosidad acerca de su solución
Pregunta. ¿Qué pasa con los triples de enteros (coprimos) $(a,b,c)$ siendo soluciones de la ecuación $$\underbrace{\text{product of distinct primes}}_{a}+\underbrace{\text{product of distinct primes}}_{b}=\underbrace{\text{product of distinct primes}}_{c}$$ que cumplan la condición $$abc=\text{a primorial}?$$ Lo que pregunto es si se sabe que existe un $K$ tal que $\forall k\geq K$ no hay solución de nuestro problema anterior, o bien en otro caso hay infinitas soluciones. Muchas gracias.
Creo que debería haber pocas soluciones. Si este problema estaba en la literatura se refieren a la literatura como una respuesta, y trato de encontrar el artículo.
Edita: No conocía tal secuencia ,y no calculé términos de tal. Muchas gracias @RobertIsrael para su referencia a OEIS, agrego aquí así el nombre del autor de la secuencia Naohiro Nomoto (Sep 10 2000), y más términos fueron agregados por Carlos Rivera.
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¿entonces la pregunta es si solo hay soluciones finitas a a+b=c tales que a,b y c son enteros coprimos pareados libres de cuadrados tales que abc es un primorial?
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Muchas gracias @TacNayn por tus palabras, ya que mi inglés es malo. Se puede leer mi pregunta también como: ¿Qué primorials $N$ puede representar como una suma $a+b=c$ con $abc=N$ ? Estoy interesado sólo en cuántos de ellos se puede representar, si estos son un número finito, o bien puede demostrar que hay infinitamente muchas soluciones.
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Tenga en cuenta que no es necesario que $a$ , $b$ y $c$ son coprimos ya que eso está implícito en el hecho de que $abc$ es primordial. De hecho, deben ser pares coprimos - de lo contrario $abc$ sería divisible por un cuadrado que un primorial no puede.
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Tienes razón @skyking . Muchas gracias.