Me di cuenta de que un grupo de Lie (compacto) debe tener la característica de Euler 0 debido al teorema del índice de Poincare-Hopf. Ahora estoy pensando en su inversa. ¿Existe una variedad compacta con característica de Euler 0 a la que no se le pueda dar una estructura de grupo de Lie?
Además, podría pedir ejemplos en los que el grupo fundamental es abeliano y la cohomología racional es un álgebra exterior sobre generadores Impares (lo que ya implica que la característica de Euler es $0$ ). Aquí se pueden tomar la mayoría de las esferas Impares; todas satisfacen estas condiciones pero se sabe que entre ellas sólo $S^1$ y $S^3$ son grupos de Lie.
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Para su primera afirmación, necesita la hipótesis de que el grupo de Lie tiene dimensión positiva o bien un grupo discreto finito es un contraejemplo.
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Hay muchos obstáculos topológicos para una estructura de grupo de Lie en la colecta $X$ incluso asumiendo compacidad y conectividad: $\pi_2 X$ debe desaparecer, $\pi_3 X$ debe estar libre de torsión, $T^*X$ debe ser trivial, etc. (Las dos primeras son no triviales de demostrar; la última es casi inmediata pero más difícil de comprobar).
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También debes suponer que tus variedades son cerradas (ya que un grupo de Lie no tiene límites) y conectadas (ya que las componentes conectadas de un grupo de Lie son difeomorfas, y la componente identidad sigue siendo un grupo de Lie), o de lo contrario hay contraejemplos tontos.
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Obsérvese que toda variedad cerrada impar-dimensional tiene característica de Euler evanescente.