¿Por qué conjugar al orden interno producto de cambio?

Question

Hay un axioma de producto interior espacios que los estados:

• $\overline{\langle x,y\rangle } = \langle y,x\rangle$

Básicamente, (sin ningún tipo de comprensión conceptual) parece que todo lo que tiene que hacer cuando usted intercambiar el orden de los argumentos en un producto interior el espacio es tomar su conjugado.

¿Cómo es que esto algún sentido? Sé que si estamos tratando con un producto interior espacio de más de $\mathbb{R}$, entonces el conjugado de un número real es sólo el número real de sí mismo, así que no hay ningún cambio. Pero, ¿cómo este sentido en el campo $\mathbb{C}$?

Answer 1

El conjugado es necesario ya que desea definir una norma $\|\cdot\|: V \to \Bbb R_{\geq 0}$ mediante el uso de ese producto interno, poniendo $$\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle},$$ and for this you need $\langle x,x\rangle$ to be real. The conjugation gives $\langle x, x\rangle = \overline{\langle x, x\rangle} $ \in \Bbb R.

Answer 2

Verbal está ahí para asegurarse de que los signos funcionan hacia fuera. Si no conjugado, entonces encontrarás que $\langle ix, ix \rangle = -\langle x, x\rangle$.

Answer 3

$\overline{\langle x,y\rangle } = \langle y,x\rangle$ se utiliza para garantizar que la norma es real. La prueba de que esta condición es suficiente para probar $\langle x,x\rangle$ es real, es parte de Hurwitz es la prueba de que hay sólo cuatro composición de álgebras, y una prueba de ello (en un libro!) es aquí.

Sin la condición de dar, el complejo de la norma no es necesariamente real. Más ejemplos y detalles sobre la no-real de las normas se pueden encontrar en esta página de la Wikipedia en espacios de Minkowski, que considera que las normas de decir $x_1^2-x_2^2-x_3^2-x_4^2$.

Answer 4

Por lo menos en el caso de vectores finito dimensional, si está de acuerdo que $\langle a, b\rangle = a^\dagger b \equiv \overline{a}^\top b$, entonces $$\langle a, b\rangle = a^\dagger b = \overline{a^\top} b = \overline{a \overline{b^\top}} = \overline{\overline{b}^\top a} = \overline{b^\dagger a} = \overline{\langle b, a\rangle}$ $

Si no está de acuerdo con la conjugación en la premisa, nota que hay una conjugación para % $ $$\langle a, a\rangle = \lVert a\rVert^2 = \overline{a}^\top a$es real.