¿Las teorías fundacionales, sus usos, las interacciones y comparaciones?

Question

Hasta ahora, he oído que hay algunas teorías para la construcción de los objetos matemáticos (o al menos es lo que me parece a mi pobre conocimiento). Algunos de estos son:

• La teoría de conjuntos;

• La lógica;

• Categoría de la teoría;

• Tipo De Teoría;

• Homotopy Tipo De Teoría;

• (Tal vez) cálculo Lambda;

• Etc.

Hasta ahora, yo sé que estos parece ser diferentes ensayos de bases de objetos matemáticos, tanto con sus puntos fuertes y débiles: he escuchado - por ejemplo - que tipo de teoría permite la computional implementación de los objetos matemáticos, mientras que la teoría de conjuntos hace un poco más difícil.

He visto algunos libros, por ejemplo Goldblatt del Topoi: Una categoría de análisis de la lógica - parece que algunas de estas teorías, como en este caso, la Lógica y la Categoría de la teoría de hacer interactuar de alguna manera. Yo creo que puede haber más interacción entre ellos.

Estoy buscando algunos recursos sobre fundacional teorías, sus usos, las interacciones y las comparaciones.

Answer 1

Esto es más como un comentario largo. Los dos principales enfoques de los fundamentos que la lista son el tipo de la teoría y de la teoría de conjuntos. Me explico.

En primer lugar, tomar nota de una convención de nomenclatura:

1. los axiomas de la teoría de grupo nos dicen lo que se ve dentro de un grupo
2. los axiomas de la categoría de la teoría de nosotros lo que parece dentro de una categoría

etc.

Siguiendo esta convención, se podría pensar que el conjunto de teorías que nos dicen lo que se ve como "dentro" de un conjunto. Pero no (la vida es terriblemente aburrido en el interior de un mero conjunto!). Más bien, nos dicen algo acerca de lo que el universo de los conjuntos parece. Una declaración similar puede ser hecha en cuanto a tipo de teoría; tipo de teorías describir universos de tipos.

Otra observación importante es la siguiente. El uso de [inserte su favorito de la teoría de conjuntos, podemos demostrar afirmaciones acerca de los números naturales. Por ejemplo, $\mathrm{ZFC}$ demuestra que una variedad de otros sistemas formales son constantes; o en otras palabras, que no existe un número natural $n$ tal que así-y-así que el sistema formal resulta una contradicción en $n$ o menos pasos. Tipo de teorías como la de Martin Lof tipo de teoría también tienen esta capacidad.

Por otro lado, ni la teoría de grupos axiomas ni la categoría de la teoría de los axiomas nos dice mucho acerca de los números naturales. Ellos simplemente no tienen ningún papel "fundamental poder". Así que supongo que yo diría que la categoría de la teoría es "omnipresente" sin estar realmente "fundacional". No equivocarnos; la teoría de conjuntos y la categoría de la teoría de resolver problemas muy distintos. Conjunto de teorías (y tipo de teorías) intento de discernir la verdad de la falsedad, mientras que la categoría de la teoría es un conceptual de la herramienta; el punto es conceptualizar las matemáticas en una forma unificada. Hay esencialmente, no hay conflicto entre los dos.

Por estas y otras razones, los dos principales enfoques de los fundamentos que la lista son el tipo de la teoría y de la teoría de conjuntos. (Que no es una lista exhaustiva; otro ejemplo sería el de Lawvere del axiomatization de la "categoría de todas las categorías.") Espero que este comentario se ha aclarado un par de cosas.