Categorías para los ejercicios de matemáticas del matemático trabajador III 1

Question

Actualmente estoy leyendo Categorías para el matemático trabajador de Mac Lane y estoy teniendo problemas con los dos siguientes ejercicios de la parte III.

• Encuentra (a partir de cualquier objeto dado) una flecha universal hacia el funtor olvidadizo $\mathbf{Rng}\rightarrow\mathbf{Ab}$ que olvida la multiplicación (es importante destacar que $\mathbf{Rng}$ significa anillos con unidades)
• Demuestra el segundo teorema de isomorfía para grupos, es decir, $SN/N\simeq S/S\cap N$ para $S,N\subset G$, $N$ normal en $G$, usando solo universalidad.

Para el primero, es simplemente que no estoy al tanto del nombre de la construcción matemática: puedo suponer que el anillo $R_{G}$ construido a partir de $G$ es una especie de anillo con una copia de $\mathbb{Z}$ más todos los productos de elementos de $G$, con relaciones de equivalencia $(a+b)c=ac+bc$ y $(na)b=a(nb)$ para enteros $n$.

(Sé, por ejemplo, que si olvidamos la suma en lugar de la multiplicación, entonces obtenemos el álgebra del anillo $R[G]$)

Para el segundo, no sé cómo caracterizar $SN$ y $S\cap N$ de una manera sin elementos. Sí logré demostrar el tercer teorema de isomorfía.

Answer 1

El nombre de tu construcción es el álgebra tensorial, y se ve más a menudo como el álgebra libre $k$-algebra en un espacio vectorial que como el anillo libre en un grupo abeliano, como lo tenemos aquí. De todos modos, tienes razón sobre la construcción: $R_G$ tiene como grupo abeliano subyacente la suma directa de todas las potencias tensoriales $G\otimes...\otimes G$, con el producto dado por la concatenación.

La caracterización más obvia de $SN$ y $S\cap N$ es como el coproducto y producto en el conjunto parcial de subgrupos de $G$. Mira si eso te funciona.