Demostrar que $\mathbb{R}^m$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$

Question

Demostrar que $\mathbb{R}^m$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ si $m\ne n$ . Usted puede asumir que $S^m$ y $S^n$ son de distinto tipo de homotopía si $m\ne n$ .

Mi intento: Supongamos que $\mathbb{R}^m$ es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ . Desde $\mathbb{R}^m$ es homeomorfo a $A^m=S^m-\{x\}$ la esfera menos un punto, entonces tendríamos $A^m$ es homeomorfo a $A^n$ . Entonces $A^m$ y $A^n$ tienen el mismo tipo de homotopía. Entonces, por definición, hay funciones $f:A^m\to A^n$ y $g:A^n \to A^m$ tal que $g\circ f=id_m$ y $g\circ f=id_n$ .

Pero entonces no sé cómo relacionar eso con $S^m$ y $S^n$ ? Sé que $S^n$ y $S^n-\{x\}$ definitivamente no son del mismo tipo de homotopía...

Answer 1

Supongamos que $n<m$ . Si $\mathbb{R}^{n}\approx \mathbb{R}^{m}$  entonces $$S^{n-1}\cong \mathbb{R}^{n}\setminus \{x\}\approx \mathbb{R}^{m}\setminus \{y\}\cong S^{m-1},$$ donde $x$  es cualquier punto en $\mathbb{R}^{n}$  y $y$ es la imagen de $x$ bajo el homeomorfismo $\mathbb{R}^{n}\approx \mathbb{R}^{m}$ y $\cong$ significa homotopía equivalente. Esto da una contradicción con su suposición sobre los tipos de homotopía. O, alternativamente, puedes hacer un argumento directo como el siguiente. Si $n=1$ entonces $S^{n-1}$  es un conjunto de dos puntos y, por tanto, desconectado, y $S^{m-1}$ está conectado, una contradicción. Así que podemos suponer que $n\geq 2$ . Ahora bien, si $i<k$  entonces $\pi_{i}(S^{k})=0$ . Por lo tanto, $$\mathbb{Z}=\pi_{n-1}(S^{n-1})=\pi_{n-1}(S^{m-1})=0,$$ otra contradicción más. El caso $m<n$  es similar. Así que debemos tener $\mathbb{R}^{n}\not\approx \mathbb{R}^{m}$ cuando $n\neq m$ .