Probar la existencia de tal $c$

Question

Que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser que una función diferenciable s.t. $f'$ es continua. Supongamos que $f'\left(\frac{1}{2}\right)=0$, prueban que hay $c\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$ s.t.

$$f'(c)=2c(f(c)-f(0)).$$

Answer 1

Considere la función $$ g(x)=e^{-x^2}(f(x)-f(0))\etiqueta{1} $$ Tomando la derivada, obtenemos $$ g'(x)=e^{-x^2}\left(f'(x)-2x(f(x)-f(0))\right)\etiqueta{2} $$ Observe que $$ g(0)=0\etiqueta{3} $$ y $$ g(1/2)=e^{-1/4}(f(1/2)-f(0))\etiqueta{4} $$ y $$ g'(1/2)=-e^{-1/4}(f(1/2)-f(0))\etiqueta{5} $$ Si $g(1/2)=0$, $(3)$ y el Valor medio Teorema, hay un $c\in(0,1/2)$, de modo que $g'(c)=0$.

Si $g(1/2)\gt0$, entonces no es un $x_0$$(0,1/2)$, de modo que $g'(x_0)=2(g(1/2)-g(0))\gt0$. Además, por $(4)$ y $(5)$, $g'(1/2)\lt0$. Por el teorema del valor intermedio, existe un $c\in(x_0,1/2)$, de modo que $g'(c)=0$.

Si $g(1/2)\lt0$, entonces no es un $x_0$$(0,1/2)$, de modo que $g'(x_0)=2(g(1/2)-g(0))\lt0$. Además, por $(4)$ y $(5)$, $g'(1/2)\gt0$. Por el teorema del valor intermedio, existe un $c\in(x_0,1/2)$, de modo que $g'(c)=0$.

Por lo tanto, hay un $c\in(0,1/2)$, de modo que $g'(c)=0$,$(2)$, nos da $$ f'(c)-2c(f(c)-f(0))=0\etiqueta{6} $$

Answer 2

Hemos supuesto $f'(\frac 12)=0$ y $f$ es diferenciable sobre $\Bbb R$ $f'$ es continua sobre el $\Bbb R$. Por continuidad de $f'(x)$, teniendo en cuenta el % de desigualdad $2c^2\le\frac12\forall c\in(0,\frac12)$y por el conocido valor $f'(\frac12)=0$, cada $d\in (0,\frac 12)$ allí existe un valor $c\in(d,\frac12)$ tal que $2c^2f'(d)=f'(c)$.

Además, podemos tomar el teorema del valor medio y set $e\in(0,c)$ tal que $f'(e)=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}$. Ya que puede tomar cualquier valor en el intervalo $d$ $(0,\frac 12)$ y desde $e\in(0,c)\subseteq (0,\frac12)$, debe existir un $c,d$ tal que $f'(d)=f'(e)$, que significa que

$$f'(c)=2c^2f'(d)=2c(f(c)-f(0))$$

Answer 3

Esta es una respuesta parcial.

Si $f'(x) = 0$ todos los $x \in (0, 1/2)$, entonces la prueba es trivial debido a que, a continuación, $f(x)$ es una constante y la relación $f'(x) = 2x\{f(x) - f(0)\}$ mantiene para cualquier $x \in (0, 1/2)$.

Si asumimos que el$f'(0) \neq 0$, entonces la prueba es fácil. En este caso, por la virtud de la continuidad de la $f'(x)$ habrá un intervalo de tipo $(0, a)$ cuando la función de $f'(x)$ mantiene su signo. También por la continuidad de $f'(x)$ habrá un primer valor de $\alpha \in (0, 1/2]$ tal que $f'(\alpha) = 0$ $f'(x)$ es de signo constante en $[0, \alpha)$. Por lo tanto, en cada caso, la función de $G(x)$ dada por $$G(x) = \dfrac{f'(x)}{{\displaystyle x\int_{0}^{x}f'(t)\,dt}} = \dfrac{f'(x)}{x\{f(x) - f(0)\}}$$ is well defined for $(0, \alfa]$. Clearly it is continuous in $(0, \alfa]$ and $G(\alpha) = 0$. Also as $x \to 0+$ the function $G(x) \to \infty$. Hence by IVT there is a $c \en (0, \alpha) \subconjunto (0, 1/2)$ for which $G(c) = 2$ y esto completa la prueba.

Si $f'(0) = 0$ entonces tenemos poco más de dificultad. En este caso puede suceder que hay un intervalo de tipo $(0, a)$ que $f'(x)$ no es cero y por lo tanto mantiene su signo. A continuación, la prueba continúa como antes. Sólo necesitamos observar que la proporción de $$\dfrac{f'(x)}{{\displaystyle x\int_{0}^{x}f'(t)\,dt}} = \dfrac{f'(x)}{x^{2}f'(\xi)}$$ where $\xi \en (0, x)$ tends to $\infty$ as $x \to 0+$ because by continuity of $f'(x)$ at $x = 0$ the ratio $f'(x)/f'(\xi)$ sigue siendo limitada.

Puede haber un escenario al $f'(0) = 0$ y cada intervalo de tipo $(0, a)$ contiene un cero de $f'(x)$ (por ejemplo,$f'(x) = x\sin\{(1/x) - 2\}, f'(0) = 0$). Este es el único caso en el que no han sido capaces de establecer la reclamación.

A partir de la solución parcial anterior tomo nota de dos cosas:

1) El $1/2$ $f'(1/2) = 0$ puede ser sustituida por una positiva $a$$f'(a) = 0$.

2) En la conclusión de $f'(c) = 2c\{f(c) - f(0)\}$ la constante $2$ puede ser reemplazado por cualquier número positivo $K$.