¿Es esto suficiente para explicar por qué teoría trabajar en análisis real?

Question

Lo siento para el inicio de un montón de temas en la teoría de conjuntos; creo que esta será mi última. Sólo quiero saber ¿qué es lo basico que necesito saber acerca de la teoría de conjuntos para el análisis matemático.

Es lo que he escrito a continuación suficiente para que la teoría de conjuntos en relación con el análisis real, y habrá de asegurarse de que yo sólo trabajo con conjuntos, y no en las llamadas adecuada clases? Y también, es lo que escribo correcto o incorrecto? Sé casi nada sobre ZF axiomático de la teoría y no tienen tiempo para aprender bien ahora, o incluso aprender la lógica correctamente.

1. Si sólo utilizamos el conjunto básico de operaciones, como la unión, intersección, complemento, diferencia, Cartesiano-producto, y también el axioma de elección, y sólo el uso de estas operaciones para crear nuevos conjuntos de colecciones ya sabemos que son conjuntos, no llegaremos a ningún paradojas o contradicciones? (Asumo que con el fin de demostrar todo esto tiene para el estudio de una gran cantidad de lógica y profunda de la teoría de conjuntos, por lo que no necesito una prueba.)

2. En real de análisis que se encuentran a veces muy grandes conjuntos, como el conjunto de todas las funciones en un espacio determinado, etc. La razón de que estos conjuntos se les permite existir, porque si nos fijamos en la definición de una función como una relación, y la definición de una relación como un conjunto, todos estos grandes conjuntos nos encontramos en el análisis matemático pueden ser creados usando grupos conocidos, y las operaciones básicas en (1)? Por lo tanto pueden existir sin dar paradojas como la de la Paradoja de Russel (pero, de nuevo, con el fin de demostrar esto es probable que necesite para el estudio profundo de la teoría de conjuntos). Es esto correcto?

3. Los números reales, y todos los Euclidiana espacios vectoriales con los que trabajamos son conjuntos sin paradojas, ya que son creadas por las operaciones básicas descritas anteriormente de los números naturales. Y la colección de números naturales es un conjunto sin paradojas, ya que es fácilmente definido mediante el conjunto básico de operaciones (1)? (En este caso también se necesita el axioma de infinitud).

En resumen, es la razón por la que no encuentro conjunto-la teoría de las paradojas en "ordinario matemáticas" el hecho de que todos sus grandes juegos (como los espacios de funciones) puede ser demostrado ser creado usando el conjunto de operaciones sobre conjuntos más pequeños como los números naturales/números reales, y está demostrado en la avanzada de la teoría de conjuntos, que si usted sigue estas reglas, usted no consigue paradojas?

Answer 1

Estoy ciertamente no es un experto en teoría de conjuntos, pero lo que yo creo que para ser verdadero es este:

En respuesta a su pregunta-

1) La respuesta a esto es desconocido. Un famoso resultado (conocido como el Teorema de Gödel) dice que la teoría de conjuntos no es "potente" lo suficiente para probar su propia (lógico) consistencia. Ello no impide, demostrando que la teoría de conjuntos es consistente con algunos de los más "inclusivo" sistema-pero esta vez "plantea la pregunta", como acabamos de "patearon el problema de arriba", nuestro "sistema" debe entonces sí se muestra para ser coherente, el cual es en esencia la misma dificultad que teníamos antes. De hecho, la teoría de conjuntos no es el más pequeño del sistema que tiene este tipo de problema, el sistema de los números naturales (ordinario aritmética) posee es así.

Sin embargo, es un artículo de fe de la mayoría de los matemáticos que la teoría de conjuntos es de hecho consistente-es sólo que no se ha probado. Algunos creen que es totalmente improbable. Hasta el momento, no hay problemas evidentes han surgido de nuestra "versión actual".

2) Sí, y no. Los "grandes" establece que se reúnen en el análisis puede ser construido, en detalle, a partir de orígenes muy humildes, comenzando con la que estamos ciertos de que existe, es el conjunto vacío. Pero hay ciertas sutilezas lógicas implicadas-algunos matemáticos (llamado constructionists, o intuitionists) permitir que un pequeño "kit de herramientas" para la creación de "conjuntos válidos", por lo que para estos matemáticos, incluso los "números reales" son algo diferentes de lo que es comúnmente aceptado. Incluso entre los de la "corriente principal" de los matemáticos, de los que aceptan la mayoría de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, hay quienes cuestionan la validez del Axioma de Elección, que se utiliza para construir ciertos "grandes" juegos (tales como Vitali conjuntos). El famoso Banach-Tarski paradoja surge si acepta el Axioma de Elección (no es un "verdadero" de la paradoja, no hay contradicción lógica que se plantea, pero lo de Banach-Tarski dice que es bastante contador-intuitve: podemos descomponer un balón en dos subconjuntos disjuntos, cada uno de los cuales es una bola congruente a la original).

Pero estos "grandes juegos" usted habla de que puede ser construido, en cualquier caso, el uso de ZF+C (Zermelo-Fraenkel axiomas junto con el Axioma de Elección), y sin contradicciones aún no han surgido. Esto es algo tranquilizador, pero es demasiado pronto para decir que no es posible la contradicción que puede existir.

3) La respuesta a esto es, me temo, bastante similar a los anteriores-no hay ninguna prueba de que incluso los números naturales son paradoja. Realmente estoy terriblemente apenada por esto, como estoy seguro que usted prefiere escuchar alguna otra respuesta.Y si a pesar de la "simple" números naturales no se puede probar consistente, una mayor participación del conjunto, tales como los números reales, o el conjunto de todos los reales valores de las funciones definidas en algún subconjunto de los reales es, asimismo, no se puede probar "paradoja".

De hecho, iría tan lejos como para decir que NO hay ciertos conocimientos en matemáticas en todos! Más bien, todo nuestro conocimiento matemático es contingente, y algunos (posiblemente infundada) supuestos que se deben hacer, y lo único que podemos estar seguros de que, es lo que las consecuencias de nuestros supuestos. Esto no es nada nuevo: Euclides de Elementos comienza con Postulados; un moderno matemático es más probable que el uso de los axiomas. Ciertos axiomas puede tener un cierto atractivo intuitivo, pero que está lejos de ser una demostración de "auto-evidente".

Los axiomas se eligen, por falta de un mejor término, en la forma "apropiada" son: cuando nos fijamos en un problema, buscamos modelo, esperemos que exponer no obvio aspectos. Por ejemplo, al contar ovejas, números naturales parece un "buen ajuste", y puede que nos permiten descubrir si una oveja ha sido comido por los lobos (o de lo contrario desaparecido), pero es claro que este modelo no tiene en cuenta las diferencias individuales de cada oveja tiene. Mi punto es, que todavía es una cuestión de juicio que los métodos matemáticos son las más apropiadas para resolver problemas "reales", y a pesar de cálculo (por ejemplo) ha demostrado ser muy exitosa en el campo de las ciencias físicas, que no significa que las cualidades de los objetos reales (masa, densidad, luminosidad, etc.) están en el punto de hecho, los números reales, no importa cómo sugerente el nombre.

Me parece bastante curioso que las matemáticas, una demostración racional de la actividad, se debe exigir la fe en sus fundamentos, pero que parece ser el caso.