Es siempre cierto que $(A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2)=(A_1\times B_1) \cup (A_2 \times B_2)$

Question

Es siempre cierto que

$(A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2)=(A_1\times B_1) \cup (A_2 \times B_2)$?

No creo que esto es cierto. He intentado dibujar para ayudarme a conseguir en el camino correcto, pero creo que la Unión hace de este falso. por ejemplo, si $a \in A_1$ y $b \in B_2$, entonces $(a,b)$ no sería en $(A_1\times B_1) \cup (A_2 \times B_2)$. ¿Esto es una suposición correcta?

Answer 1

No, se comportan como $+$ y $\cdot$: $$(A_1\cup A_2) \times(B_1\cup B_2) =(A_1\times B_1) \cup (A_1\times B_2) \cup (A_2\times B_1) \cup (A_2\times B_2) $$

Answer 2

Esto no es cierto. Piensa en el % de sistemas $A$y $B$ como singletons.

Si $A_1 = \{0\}$, $A_2 = \{1\}$, $B_1 = \{0\}$ y $B_2 = \{1\}$ $(A_1 \cup A_2) \times (B_1 \cup B_2)$ es como una cuadrícula de 2 por 2, pero $(A_1\times B_1)$ es el punto inferior izquierdo y $(A_2\times B_2)$ es la parte superior derecha.

Además Lo cierto, sin embargo, es

$$ (A_1 A_2 de \cup) \times (B_1 B_2 de \cup) = (A_1\times B_1) \cup (A_2 \times B_2) \cup (A_1 \times B_2) \cup (A_2 \times B_1) $$

que es esencialmente la propiedad distribuida.

Answer 3

Que $A_1=\varnothing =B_2$. La LHS es $A_2\times B_1$ mientras que el lado derecho será $\varnothing \cup \varnothing=\varnothing$.