Demuestra que la expresión nunca es un cuadrado perfecto.

Question

Demostrar que $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ nunca es un cuadrado perfecto para $n \ge 3$ .

Tengo el siguiente progreso: $\gcd(n^2-1,n^2-4) = \gcd(3,n^2-4)$ que es $1,3$ .

Cuando el $\gcd$ es $1$ es tan trivial como $n^2-1$ tendría que ser un cuadrado perfecto.

Ahora bien, cuando el $\gcd$ es $3$ es donde estoy atascado...

Lo intenté con casos basados en lo que $\gcd(n^2-4,n)$ es: $1,2$ ou $4$ .

Si es $1$ el problema es fácil, pero no he podido probarlo para cuando el $\gcd$ es $2$ ou $4$ .

Agradecería cualquier ayuda para demostrarlo.

Answer 1

He visto una expresión similar que puede ayudarte. El producto de cuatro números consecutivos: $$n(n+1)(n+2)(n+3) = n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n = (n^4 + 6n^3 + 2n^2) + (9n^2 + 6n) = (n^2+3n)^2 + 2(n^2+3n) + 1 - 1 = (n^2+3n+1)^2 - 1$$

Así, el producto de cuatro números consecutivos cualquiera será siempre uno menos que un cuadrado. Comprueba si puedes utilizar este hecho.

Answer 2

Este documento de Erdős demuestra que el producto de dos o más números consecutivos nunca es un cuadrado. Esta pregunta también se planteó antes en Matemáticas.SE . También puede relacionarse con Foro de matemáticas o bien, busque en Google "el producto de cinco números consecutivos nunca es un cuadrado" y las variantes para obtener muchos resultados interesantes.