Solución de una función de Lambert W

Question

La pregunta era..: (encontrar x)

$6x=e^{2x}$

Yo conocía la función de Lambert W y por lo tanto:

$ \Rightarrow 1= \dfrac {6x}{e^{2x}}$

$ \Rightarrow \dfrac {1}{6}=xe^{-2x}$

$ \Rightarrow \dfrac {-1}{3}=-2xe^{-2x}$

$ \Rightarrow -2x=W( \dfrac {-1}{3})$

$ \therefore x= \dfrac {-1}{2} W( \dfrac {-1}{3})$

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Pero cuando fui a WolframAlpha mostró el mismo resultado pero en el gráfico:

Las curvas se intersectan en un punto...

Y por lo tanto hay una segunda solución como $x= \dfrac {-1}{2} W_{-1}( \dfrac {-1}{3})$

Y también da aproximaciones como $x=0.309 $ o $0.756$

Entonces, ¿cómo encontrar la segunda solución de una función de Lambert W y también cómo encontrar sus aproximaciones?

Por favor, responda. Gracias.

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P.D. - Esto puede parecer un duplicado, pero he visto muchos artículos de StackExchange, ninguno de los cuales muestra la explicación correcta.

Answer 1

En términos de la función de Lambert, hay dos raíces que son $$x_1=- \frac {1}{2} W \left (- \frac {1}{3} \right ) \approx 0.309$$ $$x_2=- \frac {1}{2} W_{-1} \left (- \frac {1}{3} \right ) \approx 0.756$$ Si quieres calcular con precisión estas raíces, podrías resolver $$f(x)=6x-e^{2x}=0$$ usando el método de Newton.

Incluso si ya conocemos los resultados, puedes notar que $f(x)$ pasa por un extremo para $x= \frac { \log (3)}{2}$ y para este valor específico $f(x)=3 \log (3)-3 >0$ . La segunda prueba derivada muestra que esto es un máximo. También puedes notar que $f(0)=-1$ y $f(1)=6-e^2<0$ . Así que $0$ y $1$ son buenos candidatos como puntos de partida.

Empezando por una suposición $x_0$ El método de Newton lo actualizará de acuerdo con $$x_{n+1}=x_n- \frac {f(x_n)}{f'(x_n)}$$ que, para el caso que consideramos da $$x_{n+1}= \frac {e^{2 x_n} (2 x_n-1)}{2 \left (e^{2 x_n}-3 \right )}$$ Empezando por $x_0=0$ genera los siguientes iterados : $0.250000$ , $0.305030$ , $0.309498$ , $0.309531$ que es la solución para seis cifras significativas.

Empezando por $x_0=1$ genera los siguientes iterados : $0.841759$ , $0.771741$ , $0.756744$ , $0.756069$ , $0.756067$ que es la solución para seis cifras significativas.

Seguro que podrías hacer lo mismo usando los métodos Halley o Housholder para una convergencia más rápida. Para propósitos de ilustración, usando Halley a partir de $x_0=0$ produce los siguientes iterados : $0.281250$ , $0.309419$ , $0.309531$ a partir de $x_0=1$ : $0.799604$ , $0.756909$ , $0.756067$ .

Edita

Podrías mostrar fácilmente que $f(x)=ax-e^{2x}$ no tiene raíz si $a<2e$ una doble raíz para $a=2e$ (será $x= \frac 12$ ) y dos raíces para $a>2e$ .

Lo que es asombroso es que, si te expandes $f(x)=ax-e^{2x}$ como una serie de Taylor pero en $x= \frac 12$ tienes $$f(x)= \left ( \frac {a}{2}-e \right )+(a-2 e) \left (x- \frac {1}{2} \right )-2 e \left (x- \frac {1}{2} \right )^2+O \left ( \left (x- \frac {1}{2} \right )^3 \right )$$ Si resuelves la cuadrática, las raíces están dadas por $$x_{ \pm }= \frac {a \pm\sqrt {a^2-4 e^2}}{4 e}$$ que, por $a=6$ da $ \approx 0.318$ y $ \approx 0.785$ . Bastante cerca, ¿no es el precio de una cuadra?

Answer 2

La función de Lambert W tiene infinitamente muchas ramas. Para $-1/e < x < 0$ , tanto el " $-1$ "Rama" $W_{-1}$ y el " $0$ "Rama" $W_0$ son reales; ambos son $-1$ en $-1/e$ pero $W_{-1}(x)$ disminuye a $- \infty $ como $x$ aumenta a $0$ mientras que $W_0(x)$ aumenta a $0$ . Aquí hay una trama, con $W_0$ en rojo y $W_{-1}$ en azul.

Para las aproximaciones numéricas, el método de Newton converge rápidamente, o se podrían usar series de potencia. La serie Puiseux para $W_0(x)$ para $x$ cerca de $x = -1/e$ es (según Maple)

$$ -1+{ \frac { \sqrt {2} \sqrt {x+{{ \rm e}^{-1}}}}{ \sqrt {{{ \rm e}^{-1}}}}} -2/3\,{ \frac {x+{{ \rm e}^{-1}}}{{{ \rm e}^{-1}}}}+{ \frac {11\, \sqrt {2} \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{3/2}}{36\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{3/2}}}-{ \frac {43\, \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{2}}{ 135\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{2}}}+{ \frac {769\, \sqrt {2} \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{5/2}}{4320\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{5/2}}}-{ \frac {1768\, \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{3} }{8505\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{3}}}+{ \frac {680863\, \sqrt {2 } \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{7/2}}{5443200\, \left ( {{ \rm e}^{- 1}} \right ) ^{7/2}}}-{ \frac {3926\, \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{ 4}}{25515\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{4}}}+{ \frac {226287557\, \sqrt {2} \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{9/2}}{2351462400\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{9/2}}}-{ \frac {23105476\, \left ( x+{{ \rm e}^{ -1}} \right ) ^{5}}{189448875\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{5}}}+{ \frac {169709463197\, \sqrt {2} \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{11/2} }{2172751257600\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{11/2}}} $$ La serie para $W_{-1}$ es $$ -1-{ \frac { \sqrt {2} \sqrt {x+{{ \rm e}^{-1}}}}{ \sqrt {{{ \rm e}^{-1}}}}} -2/3\,{ \frac {x+{{ \rm e}^{-1}}}{{{ \rm e}^{-1}}}}-{ \frac {11\, \sqrt {2} \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{3/2}}{36\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{3/2}}}-{ \frac {43\, \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{2}}{ 135\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{2}}}-{ \frac {769\, \sqrt {2} \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{5/2}}{4320\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{5/2}}}-{ \frac {1768\, \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{3} }{8505\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{3}}}-{ \frac {680863\, \sqrt {2 } \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{7/2}}{5443200\, \left ( {{ \rm e}^{- 1}} \right ) ^{7/2}}}-{ \frac {3926\, \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{ 4}}{25515\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{4}}}-{ \frac {226287557\, \sqrt {2} \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{9/2}}{2351462400\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{9/2}}}-{ \frac {23105476\, \left ( x+{{ \rm e}^{ -1}} \right ) ^{5}}{189448875\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{5}}}-{ \frac {169709463197\, \sqrt {2} \left ( x+{{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{11/2} }{2172751257600\, \left ( {{ \rm e}^{-1}} \right ) ^{11/2}}}$$