Cómo identificamos los primos gemelos .

Question

Como se sabe , cada número primo mayor que 3 es de la forma $6k-1$ o $6k+1$ .

primos gemelos son todo tipo de dos primos adyacentes de diferencia $= 2$ como:

$$(11,13) ,(17,19),\ldots,(6k-1,6k+1)$$

-¿Existe un algoritmo específico de complejidad de clase polinómica o una expresión matemática con la que podamos saber si un determinado $(6k-1,6k+1)$ ¿es la pareja de gemelos primos o no sin el barrido general de números?

Answer 1

Hay un algoritmo trivial. Todos los primos gemelos producen compuestos de la forma $X^2-1$ . Una propiedad interesante de los cuadrados perfectos menos 1 (que siempre son compuestos) es la trivialidad de su factor primo más pequeño, a menos que sean compuestos de dos primos. Esto hace que sea extremadamente rápido factorizarlos y fácil determinar los casos de primos gemelos (simplemente por eliminación). La regla es que el factor primo más pequeño de un número no gemelo $X^2-1$ compuesto no puede ser mayor que la raíz cuadrada de su raíz cuadrada, y normalmente es mucho menor. Si no se encuentra dicho factor, el compuesto debe ser el producto de dos primos gemelos. Por lo tanto, el mayor de estos factores no gemelos menores que $10^{12}$ es $991$ para $999836006723$ .

Escribí un programa de Excel que aprovecha esto. http://www.naturalnumbers.org/TwinPrimeCalc.xlsm

Answer 2

La razón por la que puede utilizar 6k para reducir su búsqueda a 1 de cada 3 números pares se debe a que 6 es un primor (2*3) y cualquier pareja de primos gemelos [tpc] > 6 debe satisfacer las desigualdades

 tpc <> +-1 (MOD 2)
 tpc <> +-1 (MOD 3) 

Dejando sólo una solución (MOD 6)

tpc = 0 (MOD 2) and tpc = 0 (MOD 3)

Lo que significa que tpc = 0 (MOD 6)

Esto puede extenderse más allá de los dos primeros primos, de modo que, por ejemplo, tomando los 3 primeros primos:

El primorial P3# = 2 * 3 * 5 = 30

Cualquier pareja de primos gemelos > 30 debe satisfacer las desigualdades:

 tpc <> +-1 (MOD 2)
 tpc <> +-1 (MOD 3) 
 tpc <> +-1 (MOD 5) 

Esto significa que tenemos las mismas condiciones que antes pero con la restricción añadida de que tpc = 0,2 o 3 (MOD 5)

Así que tenemos que comprobar 0,6,12,18,24

De los cuales

    0 = 0 (MOD 5)
    6 = 1 (MOD 5)
   12 = 2 (MOD 5)
   18 = 3 (MOD 5)
   24 = 4 (MOD 5)

Así que sólo 0, 12 y 18 satisfacen la nueva restricción (MOD 30)

Ahora podemos restringir nuestra búsqueda a 30k, 30k+12, 30k+18 cuando busquemos parejas de gemelos por encima de los 30 años (no estoy seguro de cuál es el límite inferior, pero definitivamente no es más alto que esto).

Ahora sólo comprueba 1 de cada 5 (3 de cada 15) números pares en lugar de su actual 1 de cada 3.

Por supuesto, esto puede ampliarse al 4º primor y más allá para mejorar la eficiencia con números más grandes.

Answer 3

Tengo una solución usando polinomios generadores de primos

de miles de polinomios que pueden extraer miles de millones de primos dentro de un rango específico, elegí tratar con polinomio de euler

$$n²+n+p$$

con :

• $4p-1$ es un Número de Heegner $\epsilon\{ 7, 11, 19, 43, 67, 163\}$

• $n < p-1$

para ambos primos $x_1=6k-1$ y $x_2=6k+1$ :

$n²+n+p=6k-1[+2]$

$\delta= 1+24k-4[+8]-4p = 24k-4[+8]-H$ donde $H$ es el número de Heegner

la solución válida de n es $\frac{\sqrt{\delta}-1}{2}$

esta condición debe verificarse en caso de existencia

$n<p-1$

• $p>\sqrt{6k+1}$

los primos gemelos son el caso cuando $\delta$ es un número entero, significa que

• $24k-4[+8]-H$ es un cuadrado donde $\frac{H+1}{4}=p$ verifica el estado del topper y $H$ es el número de Heeger.

como se ha pegado en este polinomio , podemos ir hasta el límite superior de los primos con $p=41$

• el algoritmo funciona para todos los primos $x<41²= 1681$

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como conclusión :

• $H>4\sqrt{6k\pm1}-1$

• $24k-4[+8]-H$ es cuadrado.

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Aplicación numérica:

(17,19) , k=3

$\delta= 1+24*3-4[+8]-4p = 68[+8]-H$

$p>\sqrt{19}>4$

$H=4p-1>15$

$68-(H=19)$ i un cuadrado , y $68+8-(H=67)$ es cuadrado que significa (17,19) es un primo gemelo

Nota

• podemos seguir utilizando otros polinomios citados al alza si los pimes buscados son $> 1681$

Answer 4

Actualmente, no existe tal algoritmo o expresión matemática no trivial, y de hecho todavía no hay una demostración sobre la infinidad de los primos gemelos. Más que buscar el algoritmo para encontrar parejas de primos gemelos, me atrevería a decir que el objetivo es entender la distribución de los números primos, en primer lugar, y luego entender la distribución de otro tipo de números primos especiales.

Por si acaso, el wikipedia es un buen punto de partida. A mí también me interesan este tipo de temas, por ejemplo puedes ver alguna prueba sobre el número total de primos gemelos en las proximidades de los primos gemelos en esta pregunta .

Answer 5

N1, N2 - primos, N2-N1=2; N1 siempre pertenece a la secuencia S1(p)=6p+5; p = 0, 1, 2, N2 siempre pertenece a la secuencia S2(q)=6q+7; q = 0, 1, 2, Cuando p=q; N1, N2 - son primos gemelos. Condición de primos gemelos: Los enteros positivos impares N1 =6p+5 y N2=6p+7 son primos gemelos si y sólo si ninguna de las cuatro ecuaciones diofánticas tiene solución:

6x^2-1 + (6x -1)y=p

6x^2-1 + (6x +1)y=p

6x^2-1 - 2x+(6x -1)y=p

6x^2-1 +2x +(6x+1)y=p
x =1,2,3,.. y=0,1,2 .

http://www.planet-source-code.com/vb/scripts/ShowCode.asp?txtCodeId=13752&lngWId=3