¿Es homeomorfa a sus subintervals abiertos $\mathbb{Q}$?

Question

Es bien sabido que $\mathbb{R}$ es homeomorfa a cada intervalo de $(a,b) \subset \mathbb{R}$. ¿Qué podemos decir acerca de $\mathbb{Q}$? ¿Es homeomorfa a algunos de sus subintervals?

Answer 1

Sí, y hay tres formas en que se puede demostrar que:

1. Usted puede probar, primero, que un contable de orden lineal que es densa y sin extremos es isomorfo a los números racionales. Por lo tanto homeomórficos en el orden de la topología de los números racionales.

2. También puedes probar de Sierpinski del teorema que cada contables de espacio métrico, que no tiene puntos aislados es homeomórficos a los números racionales. (Ver la prueba aquí, por ejemplo).'

3. Usted puede encontrar una explícita bijection. Para delimitada intervalos que se pueden utilizar Thomas Andrew sugerencia de los comentarios, y sin límites de los intervalos de MJD sugerencia reduce en el caso de un intervalo acotado de nuevo.