Si usted comienza restando $\mathrm{E}[X_1]$ desde ambos lados y deje $Z=X_2-X_1$, la desigualdad se convierte en
$$\mathrm{E}[\max(Y,Z)]>\mathrm{E}[\max(0,Z)].$$
Para cualquier distribución $U$ $F_U(t)=\Pr[U\le t]$ la distribución acumulativa, podemos escribir
$$
\mathrm{E}[U]=\int_{-\infty}^\infty \chi(t>0)-F_U(t)\,dt
$$
donde $\chi(t>0)$ el indicador de la función que vale 1 cuando $t>0$ es verdadero y 0 cuando es falsa.
El uso de $F_{\max(Y,Z)}(t)=F_Y(t)F_Z(t)$, la desigualdad se convierte en equivalente a
$$
\int_{-\infty}^\infty \chi(t>0)-F_Y(t)F_Z(t)\,dt
>\int_0^\infty 1-F_Z(t)\,dt
$$
que podemos reescribir en
$$
\int_{-\infty}^\infty \Big[\chi(t>0)-F_Y(t)\Big]\cdot F_Z(t)\,dt>0.
$$
Yo no puedo ver ninguna manera de transformar esto en una simple estadística declaración: es decir, como uno en términos de valores esperados o probabilidades. Sin embargo, si definimos
$$
H_Z(t)=\int_0^t F_Z(s)\,ds
$$
con el convenio que $\int_0^a=-\int_a^0$ a lidiar con el $a<0$ de los casos, podemos reescribir la integral de la condición en
$$
\textrm{E}\left[H_Z(Y)\right]=\int_{-\infty}^\infty H_Z(t)\,dF_Y(t)>0
$$
donde $dF_Y(t)=f_Y(t)\,dt$ si la densidad de probabilidad de $Y$.
