Demostrar que $n^{n+1} \leq (n+1)^{n} \sqrt[n]{n!}$

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Conjeturo que la siguiente desigualdad es verdadera \begin{equation} n^{n+1} \leq (n+1)^{n} \sqrt[n]{n!} . \end{equation} En cualquier caso, no pude probarlo ni refutarlo. Sólo pude comprobar, utilizando la Fórmula de Stirling, que la relación de los miembros derecho e izquierdo tiende a 1 como $n \rightarrow \infty$ . Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

Tomando logaritmos la desigualdad es equivalente a $$ (n+1)\log n\le n\log(n+1)+\frac1n\sum_{k=1}^n\log k. $$ Ahora estimamos la suma: $$ \sum_{k=1}^n\log k\ge\int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1. $$ Será suficiente para demostrar que $$ n\log n\le n\log(n+1)-1+\frac1n, $$ o de forma equivalente $$ 1-\frac1n\le n\log\Bigl(1+\frac1n\Bigr). $$ Esto se deduce de la desigualdad $\log(1+x)\ge x-x^2/2$ , $0<x<1$ .

Answer 2

$$ \begin{align} \log\left(n\left(1+\frac1n\right)^{-n}\right) &=\log(n)-n\log\left(1+\frac1n\right)\\ &=\log(n)+n\log\left(1-\frac1{n+1}\right)\\ &\le\log(n)-\frac{n}{n+1}\\ &\le\log(n)-\frac{n-1}n\\ &=\frac1n\int_1^n\log(x)\,\mathrm{d}x\\ &\le\frac1n\sum_{k=2}^n\log(k)\\ &=\log\left(\sqrt[n]{n!}\right) \end{align} $$ Exponencie y reordene para obtener $$ n^{n+1}\le(n+1)^n\sqrt[n]{n!} $$

Answer 3

Desde $$ e^{-1} = \left(e^{-\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1} > \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}(\because e^x \ge x+1) $$

y

$$ \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = 1 $$

Nota

$$e \le (1+\frac{1}{n})^{n+1}=\frac{(1+n)^{n+1}}{n^{n+1}} \Leftrightarrow n^{n+1} \le \frac{(n+1)^{n+1}}{e} $$

Tenga en cuenta también $$n!e^n=\sum_{k=0}^{\infty}{n^k\frac{n!}{k!}} \ge \sum_{k=0}^{n}{n^k\frac{n!}{k!}} \ge \sum_{k=0}^{n}{n^k\binom{n}{k}}= ({n+1})^n \Leftrightarrow \sqrt[n]{n!} \ge \frac{n+1}{e} $$

Esto nos da que $$(n+1)^{n} \sqrt[n]{n!} \ge \frac{(n+1)^{n+1}}{e} \ge n^{n+1}$$ .

Answer 4

Si te sientes inclinado a hacer un cálculo "bonito" (erm), siempre puedes optar por estudiar una de estas dos funciones: $$ f\colon x\in [1,\infty) \mapsto \Gamma(x+1) (x+1)^{x^2} - x^{x^2+x} $$ o $$ g\colon x\in [1,\infty) \mapsto \frac{\Gamma(x+1) (x+1)^{x^2}}{x^{x^2+x}} $$ y demuestran, respectivamente, que $f\geq 0$ o $g \leq 1$ en su dominio. (por ejemplo, como $g$ es creciente, si no me equivoco, por lo que después de mostrar esto sólo habría que calcular $\lim_\infty g$ ).

Esto no será muy agradable, pero debería funcionar: cualquiera de las dos funciones que elijas, será diferenciable y se comportará bien. (Si quieres, puedes incluso definirlas en $[2,\infty)$ en lugar de eso, si los tecnicismos en $1$ de la que se desprende).