Lo he visto de un libro que seguramente convergencia es equivalente a lo siguiente: para cualquier $\epsilon>0$, hay un $n>0$, que $P({|X_{j}-X|\geq\epsilon})=0$, para todos los $j\geq n.$ dudo de si es adecuado.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Cambiado:
Casi seguro que la convergencia es $\Pr\!\left( \lim_{n\to\infty}\! X_n = X \right) = 1$.
Estas notas dan el ejemplo
Deje que el espacio muestral $S$ ser el intervalo cerrado $[0, 1]$ con el uniforme distribución de probabilidad. Definir las variables aleatorias $X_n(s) = s + s^n$$X(s) = s$. Para cada $s \in [0, 1)$, $s_n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$$X_n(s) \rightarrow s = X(s)$. Sin embargo, $X_n(1) = 2$ por cada $n$ $X_n(1)$ no converge a $1 = X(1)$. But since the convergence occurs on the set $[0, 1)$ and $P([0, 1)) = 1$, $X_n$ converges to $X$ casi seguramente.
Pero para este ejemplo $|X_j-X|\geq\epsilon$ al $\epsilon^{1/j} \leq s \leq 1$, y que tiene probabilidad positiva $1-\epsilon^{1/j}$ para todos los positivos $j$ y todos los $\epsilon \in (0,1)$. Así que en este ejemplo tiene casi seguro de convergencia, pero no tiene la convergencia de describir.
