¿Podemos encontrar dos números de $n+2$ números elegidos entre $\{1,2,3,\cdots\}$ ?

Question

Dejemos que $n\ge 2$ se da y se elige $n+2$ enteros del conjunto $\{1,2,3,\cdots,3n\}$ entonces podemos encontrar dos números cuya diferencia es mayor que $n$ pero menos de $2n$ ?

Intento demostrarlo utilizando el principio de la paloma. He dividido $\{1,2,3,\cdots,3n\}$ de los conjuntos $$\{\{k,2n-1+k\}:1\le k\le n+1\}\cup \{\{k\} :n+2\le k\le 2n-1\}.$$ Sin embargo, no sé cómo proceder. Gracias por cualquier ayuda. (Es un problema de tarea por lo que no quiero una solución completa, sino una pista o idea).

Answer 1

Considere un conjunto de $n+1$ números. El primer número de la lista elimina $n-1$ candidatos, es decir, la elección de cualquiera de ellos da lugar a un éxito. Cualquier otra elección de la lista elimina al menos un candidato más, y hay $n$ de ellos. Así que tenemos el $n+1$ chosens y $n-1+n$ mudanzas, $=3n$ en total, por lo que no queda ningún lugar donde ir.

Answer 2

Dejemos que $S$ su conjunto de $n+2$ números. Si $S \cap \{n+1,\ldots,2n\} \neq \emptyset$ entonces ya está hecho (¿por qué?). Si no, la intersección está vacía, y como tenemos $n+2$ enteros entonces $A=S\cap \{1,\ldots,n\}\neq \emptyset$ y $B=S\cap \{2n+1,\ldots,3n\}\neq \emptyset$ . Elija $a \in A$ y $b \in B$ . Entonces $b-a>n$ . Pero esa diferencia no puede ser tan grande..