¿Cómo puedo conseguir $ \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{z(z - 1\,)(z+1\,)}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{9}{4})}$ ?

Question

Mientras leía documentos de física encontré una integral muy interesante así que decidí escribirla. Sea $p(z) = z^ 3 - 3\Lambda^ 2 z$ donde $\Lambda$ puede ser cualquier número. Si quieres $\Lambda = 1$ y $p(z) = z^ 3 - 3z$ . Entonces

$$ \int_0^{\sqrt{3}\Lambda} \frac{dz}{\sqrt{p(z)}} = \int_0^{\sqrt{3}\Lambda} \frac{dz}{\sqrt{z(z - \sqrt{3}\Lambda\,)(z+\sqrt{3}\Lambda\,)}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{9}{4})} (\sqrt{3}\Lambda)^{5/2}$$

El documento de física al menos nos dice $\int \propto \Lambda^{5/2}$ para conocer la tasa de crecimiento. Podría ser que $\Lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$ es aún más simple que $\Lambda = 1$ .

$$ \int_0^1 \frac{dz}{\sqrt{z(z - 1\,)(z+1\,)}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{9}{4})}$$

Esto debe ser conectado a la superficie de Riemann $y^ 2 = z(z^2 -1)$ . Y estamos calculando un período de la superficie de Riemann.

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La integración de los contornos es realmente importante en este caso. Comprobación de Wolfram Alpha da una respuesta diferente:

$$ \int_0^1 \frac{dz}{x(x^2-1)} = - 2i\sqrt{\pi}\,\frac{ \Gamma(\frac{5}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}$$

Supongo que es el mismo número o que Mathematica está eligiendo un contorno diferente. Los físicos adoran las integrales de contorno (tomado de physics.stackexchange):

Answer 1

Desde entonces: $$\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,dx = B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\tag{1}$$ mediante un cambio de variable obtenemos:

$$ \int_{0}^{1} z^{-1/2}(1-z^2)^{-1/2}\,dz = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}z^{1/4}(1-z)^{-1/2}\,dz = \frac{\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2\cdot \Gamma\left(\frac{7}{4}\right)}\tag{2} $$ y utilizando las fórmulas de reflexión para el $\Gamma$ que se simplifica a:

$$ \int_{0}^{1} \frac{dz}{\sqrt{z(1-z)(1+z)}} = \color{red}{\frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^2}{2\sqrt{2\pi}}}.\tag{3}$$

Answer 2

En los comentarios, el OP dio una referencia para el origen de la ecuación. Pero la ecuación es

$$-2\int_{-3\Lambda}^0dz\sqrt{p(z)}=-\frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{9}{4})} (\sqrt{3}\Lambda)^{5/2}$$

La diferencia crucial es que $\sqrt{p(z)}$ está en el numerador , no el denominador, de la integral.