Una línea con la ecuación de $x=k$ es una asíntota de una función $f$ cuando
$$
\lim_{x\k^{\pm}} f(x) =\pm\infty,
$$
lo que significa que al menos una de las cuatro combinaciones que se produce.
Para las funciones racionales de la forma $f(x)=p(x)/q(x)$ donde $p$ $q$ son polinomios, la condición de $q(k)=0$ es una necesaria condición para $f$ tener $x=k$ como asíntota. De hecho, si $q(k)\ne0$, la función de $f$ es continua en a $k$, lo que implica que $\lim_{x\to k}f(x)=f(k)$ existe y es finito.
Sin embargo, la condición no es suficiente: el simple ejemplo de $f(x)=2x/x$ se muestra en este. Es cierto que el denominador se desvanece en $0$, pero
$$
\lim_{x\to0}f(x)=2
$$
así que ninguna de las cuatro combinaciones anterior se produce.
Su caso es muy similar:
$$
f(x) = \frac {3x^2 - 18x - 81}{6x^2 - 54}=\frac{(x-9)(x+3)}{2(x-3)(x+3)}
$$
así
$$
\lim_{x\to -3}f(x)=\lim_{x\a-3}\frac{x-9}{2(x-3)}=\frac{-12}{-12}=1
$$
y ninguna de las cuatro combinaciones que se mencionó al inicio se produce.
Se puede observar que el $\lim_{x\to-3}(3x^2 - 18x - 81)=0$, lo $\lim_{x\to-3}f(x)$ es en la forma indeterminada $0/0$, lo que significa que no se puede sacar conclusiones sobre el límite sin más trabajo (en este caso, teniendo en cuenta el común factor $x+3$).
Que es posible que tanto el numerador y el denominador se desvanecen en un punto de $k$ y sigue la línea de $x=k$ ser una asíntota de la función. Considere la posibilidad de
$$
f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-2x+1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)^2}
$$
A continuación, tanto el numerador y el denominador se desvanecen en $1$, pero
$$
\lim_{x\1^-}f(x)=\lim_{x\1^-}\frac{x 2}{x-1}=\infty,
\qquad
\lim_{x\1^+}f(x)=\lim_{x\1^+}\frac{x 2}{x-1}=-\infty,
$$
por lo $x=1$ es una asíntota para $f$.
