Motivación para la compactación de un punto

Question

Acabo de leer acerca de la uno-punto, o Alexandroff, compactification de un espacio topológico. Parece ser agradable en su sencillez y fácil descripción, pero no sufre de algún desafortunado propiedades como no Hausdorff, a menos que el original es espacio de Hausdorff localmente compacto.

Mis preguntas son: ¿por qué estudiar el punto de compactification? ¿Qué es útil? Hay situaciones donde podemos aprender más acerca de la original espacio en lugar de pasar a su punto de compactification y en el estudio?

Veo el interés en el punto de compactification, y creo que es un bonito, la idea intuitiva. Normalmente no necesito un montón de motivación para varias de las ideas y construcciones y se puede apreciar por lo que son. En este caso, sin embargo, sucedió que me encontré a cuestionar lo que su valor real en el "cuadro grande".

Answer 1

Lo que realmente importa es el de las relaciones entre espacios topológicos, y "$A$ es el punto de compactification de $B$" pasa a ser particularmente bueno de la relación sobre la cual es posible decir mucho. Por ejemplo, la esfera de $S^n$ es el punto de compactification de $\mathbb{R}^n$, y esta observación hace que sea posible para demostrar cosas acerca de $S^n$, pasando a $\mathbb{R}^n$ o viceversa.

Ejemplo. La esfera de $S^n$ es simplemente conectado. Una manera de demostrar que esto es para mostrar que un camino de $S^n$ puede ser deformada para que se echa de menos un punto (este es el paso duro). A partir de aquí, la eliminación de la pasada punto te da una ruta en $\mathbb{R}^n$, que puede ser deformado en un camino constante el uso de funciones lineales.

Además, un principio general en matemáticas es que las cosas que son únicas son probablemente importantes. El punto de compactification es una construcción de este tipo: es el único mínima compactification (de un localmente compacto Hausdorff espacio).