Al eliminar un dígito se obtiene un divisor

Question

Dejemos que $N$ sea un número entero positivo con $d\geq 4$ dígitos, ninguno de los cuales es cero. Supongamos que al borrar algún dígito de $N$ produce otro número $M$ que resulta ser un divisor de $N$ .

Ejemplos : 1375 divide 12375. 1875 divide 61875.

Pregunta: ¿es cierto que $M$ debe terminar siempre en 25 o 75, y que los dos dígitos finales de $M$ deben ser los mismos que los de $N$ (para que ellos también tengan 25 o 75 años) ?

He comprobado esto con un ordenador para $d=4$ y $d=5$ .

Answer 1

Dejemos que $n$ sea el número original y $m$ el número después de borrar un dígito. Supongamos que el dígito borrado es $d$ que $r$ es el número representado por el $k$ dígitos a la derecha de $d$ y que $\ell$ es el número representado por los dígitos a la izquierda de $d$ para que $m=10^k\ell+r$ y $n=10^{k+1}\ell+10^kd+r$ .

Supongamos primero que $n=(10-s)m$ , donde $1\le s\le 8$ . Entonces

$$10^{k+1}\ell+10^kd+r=10^{k+1}\ell-10^ks\ell+(10-s)r\;,$$

así que $(9-s)r=10^k(d+s\ell)$ . Ahora $(9-s)r$ tiene como máximo $k+1$ dígitos, y $10^k(d+s\ell)$ tiene al menos $k+1$ dígitos, así que de hecho $d+s\ell$ es un solo dígito, y $(9-s)r$ tiene $k+1$ dígitos. Así, $\ell$ es un solo dígito, y debemos tener $k\ge 2$ (ya que $n$ tiene al menos $4$ dígitos). Si $s=4$ entonces $r=20\cdot10^{k-2}(d+s\ell)$ termina en $0$ lo cual es imposible. Por lo demás, $25$ divide $(9-s)r$ y es relativamente primo de $9-s$ Así que $25\mid r$ y como $n$ no tiene ningún dígito cero, $r$ debe terminar en $25$ o $75$ . (Por supuesto, los dos últimos dígitos de $r$ son los dos últimos dígitos de $m$ y $n$ también).

Supongamos ahora que $\frac{n}m>10$ . Si $d$ no es el primer dígito de $n$ entonces $11\le\frac{n}m\le 19$ . Supongamos que $n=(10+s)m$ , donde $1\le s\le 9$ . Entonces

$$10^{k+1}\ell+10^kd+r=10^{k+1}\ell+10^ks\ell+(10+s)r\;,$$

así que $(9+s)r=10^k(d-s\ell)$ . Claramente $d>s\ell$ Así que $\ell$ es un solo dígito, y $k\ge 2$ . Así, $25\mid(9+s)r$ . Si $s=6$ entonces $3r=20\cdot10^{k-2}(d-6\ell)$ Así que $10\mid r$ lo cual es imposible. Por lo demás, $25\mid r$ y ya está, como antes.

Por último, supongamos que $d$ es el primer dígito de $n$ Así que $n=10^kd+m$ . Supongamos además que $n=sm$ para que $10^kd+m=sm$ y $10^kd=(s-1)m$ . Ahora $k\ge 3$ Así que $125\mid 10^k$ y por lo tanto $25\mid m$ (y ya está, como antes) a menos que $25\mid s-1$ . Claramente $s<100$ , por lo que sólo tenemos que preocuparnos de los casos $s=26$ , $s=51$ y $s=76$ . En estos casos tenemos $40d=m$ , $40d=2m$ y $40d=3m$ respectivamente, y en cada caso $10\mid m$ , lo cual es imposible.

Answer 2

Primero, convéncete de que el dígito borrado no puede ser la unidad o la decena.

Entonces deja que los últimos 2 dígitos formen el número $a$ y que $N/M=b$ . Entonces tenemos $$ab\equiv a\pmod{100}$$ es decir, $a(b-1)$ es un múltiplo de 100. Esto es lo que sabemos sobre $a$ y $b$ : ningún dígito de $a$ es cero, $11\le a<100$ , $2\le b<100$ . También, $b-1$ no puede ser relativamente primera a 100. Sea $e=\gcd(b-1,100)$ . Entonces $e$ no puede ser 2, ya que eso obliga a $a=50$ ; $e$ no pueden ser 5, eso obliga a $a$ sea un múltiplo de 20; $e$ no pueden ser 10, eso obligaría a $a$ sea un múltiplo de 10. Así que $e$ es 4, 20, 25 o 50. Bueno, eso acota un poco las cosas, aunque me temo que no tengo fuerzas para tratar de llevarlo hasta una respuesta completa.