Revisé muchos libros y todos dicen que el operador de la inversión de tiempo es la lineal. Pero ¿por qué necesitamos que sea anti-lineal? Por favor explique donde realmente surge esta necesidad.
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Prahar
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El álgebra de Poincaré implica $$ T (i H) T ^ {-1} = - i H $$ $T$ Dónde está el operador de la inversión de tiempo. (Puede usted probar esto?)
Ahora, supongamos que $T$ es un operador lineal, entonces el $T H T^{-1} = - H$. Esto implica que si el $|\Psi\rangle$ es un eigenstate del hamiltoniano con la energía $E$, entonces $T^{-1} | \Psi \rangle$ % de la energía $-E$. Esto implica que el hamiltoniano no limita desde abajo, que no es deseable para una teoría unitaria. Así, $T$ debe ser anti-lineal.
Stefano
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Un argumento se basa en la preservación de la CCR
$$\tag{1} [x,p]~=~i\hbar~{\bf 1}.$$
Deje $T$ ser invertible $\mathbb{R}$-lineal operador con el habitual tiempo de reversión de propiedades:
$$\tag{2} TxT^{-1}~=~x\quad\text{and}\quad TpT^{-1}~=~-p.$$
Entonces
$$\tag{3} Ti\hbar T^{-1}~=~ T[x,p]T^{-1}~=~[TxT^{-1},TpT^{-1}]~=~-[x,p]~=~-i\hbar~{\bf 1},$$
es decir, $T$ es antilinear
$$\tag{4} Ti~=~-iT. $$
