Marcador ejercicio 1.4.10 c
$dcl(A)=\{x \in M : x$ definible de $A \}$, Mostrar $dcl(dcl(A)=A$
Asumo "$x$ definible de $A$" significa " $\{x\}$ $A$- definible."
Definición 1.3.1: Vamos a $\mathcal{M} = (M, . . .)$ $\mathcal{L}$- estructura. Decimos que $X \subseteq M^n$ es definible si y sólo si hay un $\mathcal{L}$-fórmula $\phi(v_1 , . . . , v_n , w_1 , . . . , w_m )$ y $b \in M^m$ tal que $X = \{a \in M^n : M \models \phi(a, b)\}$. Decimos que $\phi(v, b)$ define $X$. Decimos que $X$ $A$- definible o definible $A$ si hay fórmula $\phi(v, w_1 , . . . , w_l )$ $b \in A^l$ tal que $\phi(v, b)$ define $X$.
Podemos definir cada $\{a\} \subseteq A$ por una fórmula $\phi(x,a) \mathrel{\mathop:}=x=a$ desde $a \in A$. Además, hay posiblemente otros $\emptyset$definibles por el singleton dependiendo de nuestro idioma que se $A$-definible. Si tenemos un lenguaje de abelian grupos $\mathcal{L}=(0,+)$ y a pesar de $0 \notin A$, podemos definir a la $0$ mediante la siguiente fórmula: $\phi(x,a) \mathrel{\mathop:}=x=0$.
Así, para el ejemplo que he dado, $dcl(A)$ sería un superconjunto de $A$, $0 \in dcl(A)$, en consecuencia,$0 \in dcl(dcl(A))$.
Lo que está mal con mi razonamiento?
