Cómo mostrar ese momento de th de $p$ ser finito es equivalente a un límite existente

Question

Que $p \in (0,2)$ y que $\xi_n, n \geq 1$, variables al azar de iid. Mostrar que las dos condiciones siguientes son equivalentes:

1. Con probabilidad uno, el límite $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{1/p}} \sum_{k=1}^n \xi_k$ $ existe y es finito.

2. $\mathbb{E}\lvert \xi_i \rvert^p < \infty$ Y o $\mathbb{E} \xi = 0$ o $p \leq 1$.

Han intentado usar desigualdad de titular pero no realmente en cualquier lugar. Yo realmente no tienen ninguna idea de cómo abordar el problema para cualquier dirección...

Answer 1

He aquí una prueba de que (1)$\implies$ (2).

Dejando $T_n=n^{-1/p}\sum_1^n \xi_n$, tenemos $$ \frac{\xi_n}{n^{1/p}}=T_n - T_{n-1}\cdot \frac{(n-1)^{1/p}}{n^{1/p}} $$ Dejando $n\to\infty$ anteriormente, ya que el $T_n\to T$.s y $\frac{(n-1)^{1/p}}{n^{1/p}}\to 1$, obtenemos $$\frac{\xi_n}{n^{1/p}}=T_n - T_{n-1}\cdot \frac{(n-1)^{1/p}}{n^{1/p}}\to T-T\cdot 1=0$$ de modo que $\xi_n/n^{1/p}\to 0$.s. Esto significa $P(|\xi_n|/n^{1/p}>1\text{ i.o.})=P(|\xi_n|^p>n\text{ i.o.})=0$, por lo que (el uso de Borel Cantelli en la última desigualdad), $$ E|\xi|^p=\int_0^\infty P(|\xi|^p>t)\,dt\le \sum_{n\ge0} P(|\xi_n|^p>n)<\infty $$ demostrando $E|\xi|^p<\infty$. Ahora, supongamos que por la vía de la contradicción que $p>1$$E\xi\neq0$. El uso de Jensen, $E|\xi|^p<\infty$ le permite mostrar $E|\xi|<\infty$, así que por SLLN, $$ \frac{\sum_{k=1}^n\xi_n}{n}\E\xi\neq0 $$ casi seguramente como $n\to\infty$. También tenemos, desde $p>1$, que $$ \frac1{n^{1/p-1}}\to \infty $$ Multiplicando los dos límites anteriores implica que $$ \frac{\sum_{k=1}^n\xi_n}{n^{1/p}}=T_n\to\infty\qquad\text{a.s.} $$ contradiciendo que el límite era finito. Por lo tanto, debemos tener $p\le 1$ o $E\xi=0$.