Transformadas integrales: ¿por qué las raíces en el dominio de la frecuencia corresponden a valores propios en dominio del tiempo (y cómo ayuda a resolver ecuaciones diferenciales)?

Question

En la Wikipedia se puede leer acerca de transformadas integrales, esp. la transformada de Laplace, el cual se asigna una ecuación diferencial en el dominio del tiempo en una ecuación polinómica en el complejo dominio de la frecuencia:

las raíces de las ecuaciones polinómicas en el complejo dominio de la frecuencia corresponden a los autovalores en el dominio del tiempo

¿Alguien puede dar un ejemplo sencillo y ante todo dar una intuición de por qué esto es así - ¿y esto ayuda a la solución de la ecuación diferencial? No puedo ver la imagen en grande.

Answer 1

(Lineal, homogénea, constante el coeficiente de ecuaciones diferenciales son ya ecuaciones polinómicas. Es decir, que $D$ el valor del diferencial de operador $\frac{d}{dx}$. A continuación, lineal homogénea constante el coeficiente de ecuaciones diferenciales no son nada más que las ecuaciones de la forma $p(D) y = 0$ donde $y$ es alguna función de $x$ $p$ es de algún polinomio. Escrito $p(x) = \prod_{i=1}^n (x - r_i)^{e_i}$ donde las raíces $r_i$ son distintos, se sigue que podemos escribir la ecuación como

$$(D - r_1)^{e_1} (D - r_2)^{e_2} ... (D - r_n)^{e_n} y = 0.$$

El punto aquí es que el $D$ es un operador lineal, y se genera un conmutativa álgebra de operadores diferenciales. Ahora, de lo anterior se sigue que cualquier solución a $(D - r_i)^{e_i} y = 0$ es una solución a la anterior, y resulta que las combinaciones lineales de estos dan todas las soluciones. (Este es un hecho general acerca de los operadores lineales en finito-dimensional espacios vectoriales; véase, por ejemplo, Axler del Álgebra Lineal se Hace la Derecha.)

En el caso particular de la $e_i = 1$ todos los $i$ cosas son particularmente simple: $(D - r_i) y = 0$ medio $Dy = r_i y$ o $y = c_i e^{r_i x}$ para algunas constantes $c_i$. Esto le da a $n$ soluciones linealmente independientes, que es el número correcto, por lo tanto la solución general tiene la forma

$$y = \sum_{i=1}^n c_i e^{r_i x}.$$

Si las multiplicidades $e_i$ son mayores, entonces debemos de buscar soluciones a los $(D - r_i)^{e_i} y = 0$. Deje $w(x) = e^{-r_i x} y(x)$. A continuación,$D w = e^{-r_i x} (D - r_i) y$, del que se desprende que el de arriba tiene si y sólo si $D^{e_i} w = 0$. Pero esto, dice, precisamente, que el $w$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $e_i - 1$. Por lo tanto

$$y = c_i(x) e^{r_i x}$$

donde $c_i(x)$ es un polinomio de grado en la mayoría de las $e_i - 1$. Esto le da a $e_i$ soluciones linealmente independientes, por lo que de nuevo, tomando las combinaciones lineales que hemos encontrado a todos.

Nada de esto requiere que usted sabe algo acerca de la integral se transforma. Desde el punto de vista abstracto, la integral se transforma son sólo una manera conveniente de diagonalize $D$. La transformada de Laplace (más o menos) se lleva a $D$ a la multiplicación por $s$, por lo tanto vuelve $p(D)$ a $p(s)$ (las raíces de los cuales son los autovalores $r_i$ anterior), pero esto es sólo una manera más concreta de la realización de la estructura del resumen ya evidente en el problema: que el conjunto de soluciones a $p(D) y = 0$ es, naturalmente, la acción de $\mathbb{C}[D]$.

Answer 2

Voy a dar un ejemplo de cómo funciona. No sé por qué funciona. El ejemplo es el caso más simple de la teoría de circuitos eléctricos, la descarga de un condensador. Usted sabe que la solución de f(t) es sólo un decaimiento exponencial truncada a la izquierda en t=0. La transformada de Fourier de f(t) es F(w) = 1/1+jw. Ahora observe:

F(w) + jw*F(w) = 1/1+jw + jw/1+jw = 1

Ahora, recuerde que algunas propiedades de la transformada de Fourier: la multiplicación por jw en el dominio de la frecuencia es equivalente a la diferenciación en el dominio del tiempo. Y la transformada de Fourier de una función constante en un dominio es la función delta en el otro dominio. Utilizando sólo estas propiedades podemos traducir la ecuación anterior en sus palabras:

"Una función y su derivada es igual a la función delta".

Esta frase es exactamente la ecuación diferencial de un capactor que tiene una unidad de carga objeto de dumping en que en t=0.