Cómo demostrar a $\sum\limits_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r+1}\binom{n}{r} = \frac1{n+1}$?

Question

Aparte de la general, el método inductivo, ¿cómo podemos mostrar que $$\sum_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r+1}\binom{n}{r} = \frac1{n+1}$$

Aparte de inducción,he probado con Wolfram Alpha para comprobar la validez,pero no puedo pensar de una manera fácil (manual) alternativa.

Por favor, sugiera una intuitiva/método fácil.

Answer 1

Mira $$\int_0^1(1-x)^n dx$$ Esto es fácil de calcular, por sustitución.

Ahora se calcula de la manera difícil, de expansión utilizando el Teorema del Binomio, y la integración de término por término.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\begin{align*}\frac{(n+1)\binom{n}{r}}{r+1} &= \frac{(n+1)n!}{(r+1)r!(n-r)!} = \frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}\\ &= \frac{(n+1)!}{(r+1)!((n+1)-(r+1))!} = \binom{n+1}{r+1}.\end{align*}$$ Por lo tanto, $$\begin{align*} (n+1)\sum_{r=0}^{n}(-1)^r\frac{\binom{n}{r}}{r+1} &= \sum_{r=0}^{n}(-1)^r\frac{(n+1)\binom{n}{r}}{r+1}\\ &= \sum_{r=0}^{n}(-1)^r\binom{n+1}{r+1}\\ &= -\sum_{r=0}^n(-1)^{r+1}\binom{n+1}{r+1}\\ &= -\sum_{s=1}^{n+1}(-1)^s\binom{n+1}{s}\qquad(\text{setting }s=r+1)\\ &= \left(-\sum_{s=0}^{n+1}(-1)^s\binom{n+1}{s}\right) + (-1)^0\binom{n+1}{0}\\ &= -(1-1)^{n+1} + 1\\ &= 1. \end{align*}$$

Dividiendo por $n+1$ da el resultado deseado.

Una vez que te das cuenta de que $$\frac{(n+1)\binom{n}{r}}{r+1} = \binom{n+1}{r+1},$$ it should be obvious that you are dealing with a binomial expansion of some $(n+1)$st energía. Entonces es sólo una cuestión de averiguar que el poder, y si cualquiera de los términos que faltan.

Answer 3

He aquí una prueba probabilística del equivalente de identidad $$\frac{n}{n+1} = \sum\limits_{r=1}^n \frac{(-1)^{r+1}}{r+1}\binom{n}{r} .$$

Elija $n+1$ números al azar (distribución uniforme) $[0,1]$ y llamarlos $x_1, x_2, \ldots, x_{n+1}$. Si seleccionamos $r$ números de $\{x_2, \ldots, x_{n+1}\}$, la probabilidad de que $x_1$ es mayor que todos los $r$$\frac{1}{r+1}$.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de $x_2, \ldots, x_{n+1}$ es mayor que $x_1$?

Respuesta 1: Uso del complemento, es $1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$.

Respuesta 2: Por el principio de inclusión-exclusión, también es $\sum\limits_{r=1}^n (-1)^{r+1}\binom{n}{r} \frac{1}{r+1}.$

(Para aquellos no familiarizados con la inclusión-exclusión, es la generalización de la identidad de $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ a partir de 2 sets a $n$ conjuntos. Primero se agrega en las probabilidades de todas las singleton conjuntos, pero que doble cuenta la probabilidad de la intersección de dos conjuntos, por lo que resta de los de fuera, pero luego tienes que volver a agregar la probabilidad de la intersección de tres conjuntos, etc.)

Answer 4

Mi respuesta uso parcial de la integración.

![mi respuesta captura][1]

[1]: http://i.stack.imgur.com/SEg1x.jpg my answer image