OMI 2016 problema 5

Question

La ecuación $ (x-1)(x-2)(x-3)\dots(x-2016)=(x-1)(x-2)(x-3)\dots(x-2016) $$ está escrito en un tablero, con $2016$ factores lineales en cada lado. ¿Cuál es el valor mínimo de $k$ de que es posible borrar exactamente $k$ $4032$ factores para que al menos uno de los factores permanezca en cada lado y la ecuación resultante no tiene soluciones reales?

Answer 1

Una interpretación de la solución a partir de aquí. Lo siento, mi Chino.

1. $k\ge 2016$ (ver @McFry comentario anterior).
2. Para $t=1,2,\ldots,504$, eliminar los siguientes (exactamente $2016$ muchos) factores $$ \begin{align*} & (x-(4t-2)),\quad (x-(4t-1)) &\qquad \text{ from the LHS},\\ & (x-(4t-3)),\quad (x-4t) &\qquad \text{ from the RHS}. \end{align*} $$ Vamos a demostrar que lo que queda no tiene soluciones reales. Esto significaría que los más pequeños de $k$$2016$. Nos quedamos con la ecuación $$ \begin{align*} & (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)\ldots(x-2013)(x-2016)=\\ = & (x-2)(x-3)(x-6)(x-7)\ldots (x-2014)(x-2015). \end{align*}\etiqueta{1} $$
3. Vamos a demostrar que para todos los $x\in\mathbb{R}$ tiene $$ \begin{align*} (x-1)(x-4)&<(x-2)(x-3),\\ (x-5)(x-8)&<(x-6)(x-7)\qquad \text{etc.}\tag{2} \end{align*} $$ En otras palabras, se demuestra que para $t=1,\ldots,504$ $$ (x-(4t-3))(x-4t)<(x-(4t-2))(x-(4t-1)).\la etiqueta{3} $$ Denotar $y=x-4t$. A continuación, "RHS menos LHS" en (3) es $$ (y+2)(y+1)-(y+3)y=y^2+3y+2-y^2-3y=2>0. $$ Por lo tanto (2) está probado para todos los $x\in\mathbb{R}$.
4. Obviamente, $x\in \{1,2,\ldots,2016\}$ no es una solución
5. Si $x<1$, $x>2016$ o $\exists m\colon 1\le m\le 503$ tal que $4m<x<4m+1$, en todos los lados de la desigualdad (2) son positivos, por lo tanto, (1) no tiene raíces reales.
6. Si $\exists n\colon 1\le n\le 504$ tal que $4n-3<x<4n-2$ o $4n-1<x<4n$, a continuación, una desigualdad entre el primer $n$ negativos en el lado izquierdo y positivo RHS y el resto 503 de la desigualdad de ambos lados positivos. Luego de la igualdad en (1) es una vez más imposible.
7. Lo que queda es demostrar que $4n-2<x<4n-1$ para algunos $n$, $1\le n\le 504$, no puede ser una solución a (1). En este caso, los siguientes $503$ desigualdades es cierto (similar demostrar que el anterior) con ambos lados siendo positivo $$ \begin{align*} (x-4)(x-5)&>(x-3)(x-6),\\ (x-8)(x-9)&>(x-7)(x-10),\\ &\vdots\\ (x-2012)(x-2013)&>(x-2011)(x-2014). \end{align*} $$ Por otra parte, para $1\le n\le 504$ tenemos $2\le 4n-2<x<4n-1\le 2015$, por lo tanto $$ \begin{align*} (x-1)&>(x-2)&>0,\\ -(x-2016)&>-(x-2015)&>0, \end{align*} $$ lo que implica $$ \begin{align*} & -(x-1)(x-4)(x-5)(x-8)\ldots(x-2013)(x-2016)>\\ > & -(x-2)(x-3)(x-6)(x-7)\ldots (x-2014)(x-2015), \end{align*} $$ así que de nuevo (1) es imposible.

Answer 2

Continuando a partir de Aarón Ahora se Elimina Buena Sugerencia

Reemplace $2016$ $4N$ algunos $N\in\mathbb{N}$. Como dijo McFry, $k\geq 4N$. Voy a probar que $k=4N$ es posible. En el lado izquierdo de la ecuación dada, los factores de la forma $(x-j)$ $j\equiv 0,1\pmod{4}$ se eliminan, y en el lado derecho de la ecuación, los factores de la forma $(x-j)$ $j\equiv 2,3\pmod{4}$ son eliminados. Entonces, tenemos que demostrar que las funciones polinómicas $$f(x):=\prod_{r=1}^{N}\,\big(x-(4r-3)\big)\,\big(x-4r\big)$$ y $$g(x):=\prod_{r=1}^N\,\big(x-(4r-2)\big)\,\big(x-(4r-1)\big)$$ no coinciden en $\mathbb{R}$. Es fácil ver que $f(x)<g(x)$ todos los $x\in\mathbb{R}\setminus\bigcup_{r=1}^N\,\big(4r-2,4r-1)$. Estamos a la izquierda para mostrar que $f(x)<g(x)$ también se aplica a las $x\in(4s-2,4s-1)$ todos los $s=1,2,\ldots,N$.

Para todos los $r=1,2,\ldots,N$ $x\in(4s-2,4s-1)$ fijos $s=1,2,\ldots,N$, tenemos $$\lambda_r(x):=\frac{\big(x-(4r-3)\big)\,\big(x-4r\big)}{\big(x-(4r-2)\big)\,\big(x-(4r-1)\big)}=1-\frac{2}{\big(x-(4r-2)\big)\,\big(x-(4r-1)\big)}\,.$$ Así, por AM-GM, tenemos $$\lambda_s(x)\geq 1+\frac{2}{\big((4s-1)-x\big)\big(x-(4s-2)\big)}\geq 1+\frac{2}{1/4}=9\,.$$ Ahora, $$\prod_{r=1}^{s-1}\,\lambda_r(x)\geq 1-\sum_{r=1}^{s-1}\,\frac{2}{\big(x-(4r-2)\big)\,\big(x-(4r-1)\big)}>1-\sum_{r=1}^{s-1}\,\frac{2}{4(s-r)\big(4(s-r)+1\big)}\,.$$ Por lo tanto, $$\prod_{r=1}^{s-1}\,\lambda_r(x)> 1-\frac{1}{8}\,\sum_{r=1}^{s-1}\,\frac{1}{(s-r)^2}>\frac{7}{8}-\frac{1}{8}\,\sum_{i=1}^\infty\,\frac{1}{i(i+1)}=\frac{7}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}\,.$$ También, $$\prod_{r=s+1}^N\,\lambda_r(x)\geq 1-\sum_{r=s+1}^{N}\,\frac{2}{\big(x-(4r-2)\big)\,\big(x-(4r-1)\big)}>1-\sum_{r=s+1}^{N}\,\frac{2}{4(r-s)\big(4(r-s)-1\big)}\,.$$ Ergo, $$\prod_{r=s+1}^{N}\,\lambda_r(x)> 1-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\,\sum_{r=s+2}^{N}\,\frac{1}{(r-s)(r-s-1)}>\frac{5}{6}-\frac{1}{8}\,\sum_{i=1}^\infty\,\frac{1}{i(i+1)}=\frac{5}{6}-\frac{1}{8}=\frac{17}{24}\,.$$ Por lo tanto, $$\frac{f(x)}{g(x)}=\prod_{r=1}^N\,\lambda_r(x)>\frac{3}{4}\cdot 9\cdot \frac{17}{24}>4>1\,.$$ Como $f(x)$ $g(x)$ son negativos, se deduce que el $f(x)<g(x)$ todos los $x\in(4s-2,4s-1)$$s=1,2,\ldots,N$. La prueba se ha completado.