Muestran que

Question

Mostrar que $E[X_t^2]<\infty$, donde $$ X_t=e^{3W_t-\frac{3t}{2}}-3e^{W_t-\frac{t}{2}}\underbrace{\int_0^te^{2W_s-s}ds}_{A_t},\quad. t\geq0, $$ donde $t$ es un número fijo y $W_t$ es el movimiento Browniano. Yo lo que hice fue:

1. Por Itō la fórmula: $X_t=\int_0^t\left(3e^{3W_s-\frac{3s}{2}}-3e^{W_s-\frac{s}{2}}A_s\right)dW_s$
2. Itō isometría:

\begin{align*} E[X_t^2]&=E\left[\left(\int_0^t\left(3e^{3W_s-\frac{3s}{2}}-3e^{W_s-\frac{s}{2}}A_s\right)dW_s\right)^2\right]\\[1.ex] &=E\left[\int_0^t\left(3e^{3W_s-\frac{3s}{2}}-3e^{W_s-\frac{s}{2}}A_s\right)^2ds\right]\\[1.ex] &= ...\\[1.ex] &= \int_0^t\left(9e^{-3s}\underbrace{E\left[e^{6W_s}\right]}_{=e^{18s}}-18e^{-2s}\underbrace{E\left[e^{4W_s}A_s\right]}_{(1)}+9e^{-s}\underbrace{E\left[e^{2W_s}A_s^2\right]}_{(2)}\right)ds \end{align*}

Mi principal problema es que no sé cómo hacer una estimación del $(1)$$(2)$. He intentado usar de Cauchy-Schwarz, pero no me ayuda.

Cualquier ayuda se agradece. Gracias!

Answer 1

Permítanme señalar que la aplicación de la fórmula de Itô es realmente una exageración (y no todos). En mi respuesta va a ver que las expresiones (1) y (2) definidos en la pregunta son, de hecho, finito, así que usted puede probar de esta manera - pero como ya he dicho, yo no recomiendo hacerlo.

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Con el fin de mostrar $X_t \in L^2$, es suficiente para demostrar

$$Y_t := e^{3W_t-3t/2} \in L^2(\mathbb{P})$$

y

$$Z_t := 3 e^{W_t-t/2} A_t \in L^2(\mathbb{P}).$$

Recordemos que $W_t$ es una variable aleatoria Gaussiana con media de $0$ y la varianza $t$. Esto implica $\mathbb{E}e^{\lambda W_t}< \infty$ cualquier $\lambda \in \mathbb{R}$; de hecho, la exponencial momentos se puede calcular de forma explícita:

$$\mathbb{E}e^{\lambda W_t} = \exp \left( \frac{\lambda^2}{2} t \right) \tag{1}$$

(ver, por ejemplo, wikipedia). Por lo tanto,

$$\mathbb{E}(Y_t^2) = e^{-3t} \mathbb{E}e^{6W_t} < \infty,$$

es decir,$Y_t \in L^2$. Para mostrar que $Z_t$ es de cuadrado integrable, se aplica el Cauchy-Schwarz desigualdad

$$\mathbb{E}(Z_t^2) \leq 3 \sqrt{\mathbb{E}(e^{4W_t-2t})} \sqrt{\mathbb{E}(A_t^2)}.$$

Como en el anterior, hemos $\sqrt{\mathbb{E}(e^{4W_t-2t})}<\infty$. En consecuencia, queda por demostrar que $\mathbb{E}(A_t^2)<\infty$. La aplicación de Jensen la desigualdad de los rendimientos

$$\begin{align*} \mathbb{E}(A_t^2) &= \mathbb{E} \left( \left| t \int_0^t e^{2W_s-s} \, \frac{ds}{t} \right|^2 \right) \\ &\leq t \mathbb{E} \left( \int_0^t (e^{2W_s-s})^2 \, ds \right) \\ &\leq t \int_0^t \mathbb{E}e^{4W_s} \, ds. \end{align*}$$

El uso de $(1)$ obtenemos $\mathbb{E}(A_t^2)<\infty$. Esto termina la prueba.