aproximación para el valor de $2^x$ sin usar calculadora

Question

¿Cómo encontrar una aproximación para el valor de $2^x$ sin usar calculadora?

Por ejemplo, $2^{4.3}$.

Answer 1

Considere esto: %#% $ #% por lo que el exponente se reduce en uno, por ejemplo, % $ de la $$ 2^x \approx \dfrac{2^{\lfloor x \rfloor} + 2^{\lceil x \rceil}}{2} = 2^{\lfloor x \rfloor - 1} + 2^{\lceil x \rceil - 1} = 2^{\lfloor x \rfloor - 1} \cdot ( 1 + 2 ) = 3 \cdot 2^{\lfloor x \rfloor - 1}. $por supuesto este truco pretende ocuparse de exponentes decimales.

Answer 2

usar la aproximación de taylor, por ejemplo

$2^{4.3} $

uso parte del entero %#% parte #% y fracción $a=4$

Ahora pensemos en aproximación de taylor porque tienes este tipo de ecuación

$b=0.3$ que es lo mismo que $2^{a+b} $ $f(x+\alpha)$

$f(x)=2^x$$

derivado de $$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$

por lo cual tendríamos

$2^x=2^x\log(2)$

Answer 3

Supongo que usted está preguntando cómo hacerlo sin usar una calculadora o logaritmo tablas con una alta precisión. Y cómo hacerlo rápido. Por supuesto, hay una manera. Hoy en día podemos calcular incluso indefinida integrales con los ordenadores. Bien, aquí está lo que yo sugiero en este caso en particular:

$$2^{4.3}=2^3\cdot2^{1.3}=8\cdot2^{1.3}$$ Ahora es muy fácil conseguir un muy precisa respuesta rápida mediante el uso de la fórmula de Taylor para la fracción potencias del binomio (1+x):

$$(1+x)^{t}=1+\frac{t}{1!}\,x+\frac{t\,(t-1)}{2!}\,x^2+...+\frac{t\,(t-1)\cdot...\cdot t\,(t-n+1)}{n!}\,x^n+...$$

Así, obtenemos esto:

$$2^{1.3}=(1+1)^{1.3}=1+\frac{1.3}{1!}\cdot1+\frac{1.3\cdot(1.3-1)}{2!}\cdot1^2+\frac{1.3\cdot(1.3-1)\,(1.3-2)}{3!}\cdot1^3+...$$

o

$$1+\frac{1.3}{1!}+\frac{1.3\cdot(1.3-1)}{2!}+\frac{1.3\cdot(1.3-1)\,(1.3-2)}{3!}+\frac{1.3\cdot(1.3-1)\,(1.3-2)\,(1.3-3)}{4!}...$$

Para la simplicidad de mi crudo cálculos estoy multiplicando todo por $1000$:

$$1000+1300+\frac{130\cdot(13-10)}{2!}+\frac{13\cdot(13-10)\,(13-20)}{3!}+\frac{1.3\cdot(13-10)\,(13-20)\,(13-30)}{4!}...$$

Ahora tenemos esto: $2300+195-13\cdot49/6+1.3\cdot49\cdot27/24≈2495-650/6+1.3\cdot2\cdot27≈2500-110+70=2460$

Ahora $\;8\cdot2460/1000=19680/1000=19.68\quad$ El número real es 19.698... Mi cálculo es demasiado crudo, pero usted consigue la idea. Yo no se molestó siquiera con aritmética precisa aquí.

Como el factorial en el denominador crece más grande que usted obtenga su precisión. Nota cómo los términos alternativos (agrega un término o restar). Elegí el número de $1.3$ en una corazonada a sorta "hacer" algunos de los términos más bien pequeñas.

Creo que es importante entender las ideas, en lugar de memorizar cosas como esta: $$\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}\,x-\frac{2}{2!\cdot3^2}\,x^2+\frac{2\cdot5}{3!\cdot3^3}\, x^3-\frac{2\cdot5\cdot8}{4!\cdot3^4}\, x^4+...$$

PS: también Se puede calcular senos, cosenos, logaritmos, etc. en una manera similar que es "sobre el papel" sin logaritmo tablas o calculadoras.

Answer 4

Memorizar algunos truco. $2^{10} = 1024\approx 10^3$ % que $2^{3.3} \approx 10$.

Así $2^{k + \frac i/3} = 2^{k-3i + i*3.3}= 2^{k-3i}10^i$ lo $2^{4.3} = 2^{1 + 3.3} = 20$ ish.

Answer 5

Si usted es feliz al presupuesto, sin referencia a una calculadora, el valor aproximado del $\sqrt{2}$ $1.4$, $$2^{4.3}=2^4\times2^{0.3}=16\times(\sqrt{2})^{0.6}\simeq16\times(1.4)^{0.6}$ $ ahora utilizar el teorema del binomio y obtener $$2^{4.3}\simeq 16\times(1+0.4\times0.6)=16\times1.24=19.84$ $

Esto tiene un error de aproximadamente un 3%.