Si las fibras de un mapa cociente son todas discretas, ¿es este mapa un mapa de cobertura?

Question

Si $p:\tilde{X}\rightarrow X$ es una proyección de cobertura entonces sé que para cada punto $x \in X$ la fibra de arriba $x$ es decir $p^{-1}(x)$ tiene la topología discreta. Aquí $p$ ser un mapa de cobertura significa que es un mapa continuo, suryente, y cada $x \in X$ tiene un barrio $U$ tal que $p^{-1}(U)$ es homeomorfo a una unión disjunta de copias de $U$ cada uno de los cuales mapea homeomórficamente a $U$ a través de $p$ .

¿Es cierto lo contrario? Es decir, si $\forall x\in X$ si $p^{-1}(x)$ tiene la topología discreta y p es también un mapa cociente entonces es cierto que $p$ ¿es una proyección de cobertura? ¿O hay un contraejemplo para lo mismo?

No estoy seguro de cómo proceder en ninguna de las dos direcciones. Se agradecerán los consejos.

Gracias.

Answer 1

No, eso no es cierto. Considere $p : \mathbb R \to [0, +\infty)$ , $x \mapsto x^2$ . Cada fibra es un conjunto discreto finito, y es un mapa cociente: es surjetivo, continuo y $U \subset [0, +\infty)$ es abierta si su preimagen es abierta:

• Supongamos que $U$ está abierto, y deja que $x \in p^{-1}(U)$ . Entonces $x^2 \in U$ , por lo que hay un pequeño barrio de $x^2$ contenida en $U$ . Si $x = 0$ este pequeño barrio puede ser tomado como $[0, \epsilon)$ y luego $(-\sqrt{\epsilon}, \sqrt{\epsilon}$ es una pequeña vecindad de $0$ contenida en $p^{-1}(U)$ . En caso contrario, la preimagen de un intervalo abierto alrededor de $x^2$ contiene un intervalo abierto alrededor de $x$ . En ambos casos $p^{-1}(U)$ contiene una vecindad de $x$ . Esto era cierto para cualquier $x$ Así que $p^{-1}(U)$ está abierto.
• Supongamos que $p^{-1}(U)$ está abierto y deja $x \in U$ , $x = y^2$ para $y \in U$ . $p^{-1}(U)$ contiene un pequeño intervalo alrededor de $y$ y la imagen a través de $p$ de este intervalo es de nuevo un intervalo, que contiene $y^2 = x$ . De nuevo, observando ambos casos ( $x = 0$ , $x \neq 0$ ) se puede demostrar que se trata de un intervalo del tipo $[0,\epsilon)$ o un intervalo abierto, ambos abiertos en $[0, +\infty)$ . Así, $U$ está abierto.

Pero esto no es un mapa de cobertura, porque si no la fibra tendría una cardinalidad constante, lo que no es el caso.

Es realmente necesario tener la condición de que la fibra "permanece igual sobre una vecindad" (y varía continuamente), y esto es precisamente lo que codifica la definición de un mapa de cobertura.