Voy a escribir $(x, y)$ o $(r, \theta)$ para las coordenadas del punto en el operativo, respectivamente, del espacio en coordenadas cartesianas o polares.
La primera observación importante : el mapa de $(\theta_A, \theta_B) \mapsto (x,y)$ tijeras y luego aplanar el toro en el anillo. La esquila parte es bijective, y el "aplanamiento" es de dos a uno, excepto en el límite del anillo, donde es uno-a-uno. Por lo tanto, no serán, en general, dos posibles opciones de $(\theta_A, \theta_B)$ para cualquier posición de la tiza. Si $(\theta_A, \theta_B)$ obras, por simetría, por lo que no $(2\theta-\theta_A, -\theta_B)$.
Para hacer las cosas un poco más claro, voy a escribir $a$, $b$ en lugar de $l_A$, $l_B$.
I - Hallazgo $\theta_B$
Por Al-Kashi del teorema (la ley del coseno),
$$r^2 = a^2+b^2+2ab\cos(\theta_B).$$
Entre los dos posibles conjunto de parámetros para una posición dada, siempre hay exactamente un con $\theta_B \in [0, \pi]$. Yo elija para calcular esta posición. Entonces:
$$\theta_B = \arccos \left( \frac{r^2-a^2-b^2}{2ab} \right),$$
y:
$$\sin(\theta_B) = \frac{\sqrt{(r-a+b)(r+a-b)(a+b-r)(a+b+r)}}{2ab}.$$
Creo que esta fórmula también puede ser deducido de la ley del seno y de la fórmula de Herón para el área. Si usted elige el otro valor de $\theta_B$, que se encuentra en $[-\pi, 0]$, $\sin(\theta_B)$ se convierte en el opuesto del valor anterior.
II - la Búsqueda de $\theta_A$
Ahora, vamos a desarrollar las ecuaciones de dar a $x$$y$:
$$\begin{cases}
x & = & a \cos (\theta_A) + b \cos (\theta_A+\theta_B) \\
y & = & a \sin (\theta_A) + b \sin (\theta_A+\theta_B)
\end{casos}$$
se convierte en:
$$\begin{cases}
x & = & [a + b \cos (\theta_B)] \cos (\theta_A) - b \sin(\theta_B) \sin(\theta_A) \\
y & = & b \sin (\theta_B) \cos (\theta_A) + [a + b \cos (\theta_B)] \sin (\theta_A)
\end{casos}$$
Si reemplazamos $\cos(\theta_B)$ por su expresión que encontramos en el principio, vemos que cada columna tiene norma $r$. Así, dividiendo por $r$, obtenemos:
$$\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \\ \sin(\theta)
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{a+b\cos(\theta_B)}{r} & -\frac{b \sin(\theta_B)}{r} \\
\frac{b \sin(\theta_B)}{r} & \frac{a+b\cos(\theta_B)}{r}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos(\theta_A) \\ \sin(\theta_A)
\end{pmatrix}$$
Desde el 2x2 matriz es una matriz de rotación, es suficiente para la transposición a obtener su inversa, de donde:
$$\begin{pmatrix}
\cos(\theta_A) \\ \sin(\theta_A)
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{a+b\cos(\theta_B)}{r} & \frac{b \sin(\theta_B)}{r} \\
-\frac{b \sin(\theta_B)}{r} & \frac{a+b\cos(\theta_B)}{r}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos(\theta) \\ \sin(\theta)
\end{pmatrix}.$$
A partir de aquí, la búsqueda de $\theta_A$ es sólo una cuestión de computación en un ángulo de su seno y coseno.
III - Parametrización del círculo
Si usted tiene un arco en la operativa de espacio y desea calcular un tiempo-dependiente de la parametrización de la $(\theta_A, \theta_B) (t)$ que sigue el arco que desea, todo lo que tienes que hacer es calcular pointwise $\theta_B$ $\theta_A$ con la receta anterior. Sin embargo, puede ser bastante tedioso, especialmente para el caso especial donde todo puede hacerse explícito.
No voy a tratar con su arco $p_2$, como no tengo una ecuación de esta curva. Dicho esto, vamos a echar un vistazo a $p_1$. Es un círculo de radio de $a$ y el centro de la $(b, 0)$. Desde hace una vuelta completa alrededor del origen, el parámetro de $\theta_A$ también debe hacer una vuelta. Voy a asumir que uno puede hacer de manera monótona, es decir, uno puede tomar la $\theta_A (t)= t$. Deje $f(t)$ ser el valor de $\theta_B$ tiempo $t$. Entonces:
$$\begin{cases}
x (t) & = & a \cos (t) + b \cos (t+f(t)) \\
y (t) & = & a \sin (t) + b \sin (t+f(t))
\end{casos}$$
Pero desde $(x,y)$ pertenece al círculo,
$$(x-b)^2+y^2=a^2$$
Reemplace $x$ $y$ de las funciones de los $t$, a desarrollar, a simplificar mucho, y obtener:
$$b(1-\cos(f(t)+t)) + a(\cos(f(t))-\cos(t)) = 0,$$
que, con la ayuda de algunos de fórmula trigonométrica, se obtiene:
$$\sin \left(\frac{f(t)+t}{2} \right) \left[ b \sin \left(\frac{f(t)+t}{2} \right) - a \sin \left(\frac{f(t)-t}{2} \right) \right] = 0.$$
La ecuación de arriba tiene una solución evidente: $f(t) = -t$. Por lo tanto, si de entrada de $(\theta_A, \theta_B) (t) = (t, -t)$, se dibuja la curva de $p_1$. La segunda rama es el más delicado de calcular. Por desenvolviendo el seno, obtenemos:
$$(a+b) \sin \left(\frac{t}{2} \right) \cos \left(\frac{f(t)}{2} \right) = (a-b) \cos \left(\frac{t}{2} \right) \sin \left(\frac{f(t)}{2} \right),$$
dónde:
$$\tan \left(\frac{f(t)}{2} \right) = \frac{a+b}{a-b} \tan \left(\frac{t}{2} \right).$$
Finalmente, obtenemos:
$$f(t) = 2 \arctan \left( \frac{a+b}{a-b} \tan \left(\frac{t}{2} \right) \right),$$
que está bien definido para $t \neq \pi$ (pero que no es un problema, como $f(\pi) = \pi$ necesariamente).
