El actual armario de la futilidad tiene esta declaración: "El producto de los seis números que rodean a cualquier número interior del triángulo de Pascal es un cuadrado perfecto".
Aquí está el enlace con una bonita ilustración: http://www.futilitycloset.com/2016/07/14/a-square-triangle/
Aquí está la prueba que encontré:
En $c(n, m)$ , los vecinos son $(n-1, m-1), (n-1, m), (n, m-1), (n, m+1), (n+1, m), (n+1, m+1) $ .
El producto es
$\begin{array}\\ p(n, m) &=c(n-1, m-1)c(n-1, m) c(n, m-1)c(n, m+1) c(n+1, m)c(n+1, m+1)\\ &=\frac{(n-1)!^2n!^2(n+1)!^2}{(m-1)!(n-m)!m!(n-1-m)!(m-1)!(n-m+1)!(m+1)!(n-m-1)!m!(n-m+1)!(m+1)!(n-m)!}\\ &=\frac{(n-1)!^2n!^2(n+1)!^2}{(m-1)!^2(n-m)!^2m!^2(n-1-m)!^2(n-m+1)!^2(m+1)!^2}\\ &=\left(\frac{(n-1)!n!(n+1)!}{(m-1)!m!(m+1)!(n-1-m)!(n-m)!(n-m+1)!}\right)^2\\ \end{array} $
Tengo dos preguntas:
(1) Como el resultado es tan bonito, me parece que debería haber un más simple, más intuitiva. ¿La hay?
(2) Son el producto de los coeficientes binomiales adyacentes a $(n, m)$ , o a la distancia 1. ¿Y los coeficientes y la distancia 2, o, más generalmente, k. ¿Cómo podríamos establecer el producto de dichos coeficientes y qué propiedades tendría (por ejemplo, ¿sería una potencia k-ésima)?
