Evaluar$\sum^n_{k=0}{n\choose{k}}{m\choose{k}}$ para% fijo $m,n$

Question

Para evaluar$\sum^n_{k=0}{n\choose{k}}{m\choose{k}}$ para$m,n$%, obtuve${n+m\choose{n}}$, ¿se ve bien?

Lo reescribo como$\sum^n_{k=0}{n\choose{n-k}}{m\choose{k}}$, eso es lo que hice.

Answer 1

Creo que puede tener argumentos combinatorios si reescribe la expresión como $$ \ sum_ {k = 0} ^ n \begin{pmatrix} n\\ n-k \end {pmatrix} \begin{pmatrix} m\\ k \end {pmatrix} $$ Esto es igual a elegir $n$ objetos de$n + m $ de ellos, por lo que es igual a $ \begin{pmatrix} n+m\\ n \end {pmatrix}$, first keep a particular choice of $ m$ objects aside from the rest $ n$ objects, then choose some ( say $ k$ of them ) from the set of $ m$ objects and rest from the set of $ n$ objects. This you can do for all $ 0 \ leq k \ leq n $, por lo tanto, obtienes la expresión.