Dado un dominio integral$R$, uno puede construir su campo de fracciones (o cocientes)$\operatorname{Quot}(R)$ que es, por supuesto, un campo. ¿Todos los campos surgen de esta manera? Es decir:
Dado un campo$\mathbb{F}$, ¿existe un dominio integral$R$ tal que$\operatorname{Quot}(R) \cong \mathbb{F}$?
Sí. $F$. (Usted no puede hacerlo mejor que esto, en general, considera los campos finitos.)
He aquí un lindo ejemplo, aunque. Resulta que $\mathbb{C}$ es isomorfo a $\overline{ \mathbb{C}(t) }$. De esto se sigue que $\mathbb{C}$ es isomorfo a la fracción de campo de la integral de cierre de $\mathbb{C}[t]$ en el algebraicas cierre de su fracción de campo (el análogo de la algebraica de los números enteros en esta configuración).
Aquí un poco de geometría. Si su campo de $F$ es finitely generado más de algún campo base $k$, se puede pensar que la función de campo de algunas opciones $X$. Encontrar un buen dominio cuyo campo de fracciones es $F$ se puede interpretar geométricamente como la búsqueda de una variedad afín birational a $X$, que se puede hacer de la siguiente manera: $F$ es necesariamente finito, la extensión de $k(x_1, ... x_n)$ algunos $n$, así que podemos tomar la integral de cierre de $k[x_1, ... x_n]$$F$.
Para agregar a Qiaochu la respuesta, voy a señalar que a veces sólo existe un dominio satisfactorio de este (como en el caso de campos finitos) y, a veces, hay muchos, muchos dominios posibles. Tomemos, por ejemplo, $$\mathbb{Q} = Frac(\mathbb{Z}) = Frac(\mathbb{Z}[1/2]) = Frac(\mathbb{Z}[m/n])$$ etc. Así que el punto que estoy tratando de hacer es que todo está en el aire.
Si esto es algo que te interesa, es posible que desee leer en álgebra conmutativa, específicamente la localización, que abstrae la idea de una fracción de campo. Eisenbud hace un trabajo decente de describir la localización de álgebra conmutativa libro.
También se relaciona la noción de un "algebraica entero". La idea detrás de un anillo de enteros algebraicos es este: Supongamos que añadir algún elemento a $\mathbb{Q}$, y usted termina con un mayor campo de $K$, (por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$). A continuación, mirar para encontrar un dominio $\mathcal{O} \subset \mathbb{Q}$ la satisfacción de algunas propiedades básicas tales como:
Y usted termina con una generalización de $\mathcal{O} \subset K$ $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$
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