Divergencia de$\frac{\hat{r}}{r^2}$

Question

En la Introducción a la electrodinámica de David J. Griffiths , el autor planteó el siguiente problema en un ejercicio.

Dibuje la función de vector $$ \vec{v} ~=~ \frac{\hat{r}}{r^2}, $ $ y calcule su divergencia, donde $$\hat{r}~:=~ \frac{\vec{r}}{r} , \qquad r~:=~|\vec{r}|.$ $ La respuesta puede sorprenderlo. ¿Puedes explicarlo?

Encontré la divergencia de esta función como $$ \ frac {1} {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} $$ Por favor, dime qué es lo sorprendente aquí.

Answer 1

Bastante seguro de que la pregunta es sobre$\frac{\hat{r}}{r^2}$, es decir, el campo eléctrico alrededor de una carga puntual. Ingenuamente, la divergencia es cero, pero teniendo debidamente en cuenta la singularidad en el origen da una distribución delta.

Answer 2

Tengo el mismo libro, así que entiendo que se está refiriendo al problema 1.16, que quiere encontrar la divergencia de$\frac{\hat{r}}{r^2}$.

Si miras al frente del libro. Hay un gráfico de ecuaciones, siguiendo las coordenadas esféricas, obtienes$\nabla\cdot\vec{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left (r^2 v_r\right) + \text{ extra terms}$. Como la función$\vec{v}$ aquí no tiene$v_\theta$ y$v_\phi$ términos, los términos adicionales son cero. Por lo tanto$\nabla\cdot\vec{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2 \frac{1}{r^2}\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(1\right) = 0$.

Al menos así es como interpreto el sorprendente elemento de la pregunta.

Answer 3

Es posible que desee comprobar si la divergencia es finita en todas partes.