Simplificación del álgebra en la inducción matemática .

Question

Estaba probando algunos problemas de inducción matemática y llegué a una expresión de álgebra que muestra lo siguiente:

$$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k + 1)^2$$

Se supone que la respuesta final es:

$$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$$

Recorrí todas las expansiones posibles; combiné términos similares, simplifiqué, factoricé, pero nunca llegué a la respuesta.

¿Podría alguien explicar los pasos?

Answer 1

Primero, escribamos la expresión como una suma de fracciones con un denominador común.

$$\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k + 1)^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \dfrac{6(k+1)^2}{6}\tag{1}$$

Ampliar ahora $6(k+1)^2 = 6k^2 + 12k + 6\tag{2}$ y ampliar

$k(k+1)(2k+1) = k(2k^2 + 3k + 1) = 2k^3 + 3k^2 + k\tag{3}$

Así que ahora, $(1)$ se convierte en $$\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \dfrac{6(k+1)^2}{6} = \dfrac{(2k^3 + 3k^2 + k) + (6k^2 +12 k + 6)}{6} $$ $$= \dfrac{\color{blue}{\bf 2k^3 + 9k^2 +13k + 6}}{6}\tag{4}$$

Podemos factorizar el numerador en $(4)$ o podemos ampliar el numerador de nuestro "objetivo"...

$$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} = \dfrac{\color{blue}{\bf 2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}}{6}\tag{goal}$$

Answer 2

Cuando tenemos una expresión de la forma:

$$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k + 1)^2$$

Debemos reconocer que este es un caso de simple adición de las fracciones que también puede ser referido como expresiones racionales.

La primera cosa que me gustaría sugerir es reescribir esto como un caso de suma de fracciones:

$$\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \dfrac{(k + 1)^2}{1}$$

Aviso los denominadores son diferentes. Para sumar fracciones o expresiones racionales tenemos un denominador común. En este caso, un denominador común podría ser de 6.

Lo que vamos a hacer es multiplicar el numerador y el denominador $\dfrac{(k + 1)^2}{1}$ a los 6. También debemos expandir $(k+1)^2=(k+1)(k+1)$.

Reescribiendo la ecuación y tener un denominador común de las 6:

$$\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \dfrac{6(k + 1)(k+1)}{1(6)}$$

Ahora que tenemos un común denominador de 6 podemos simplemente añadir la fracción y simplifica.

$$\dfrac{k(k+1)(2k+1)+6(k + 1)(k+1)}{6} $$

$$=\dfrac{k(2k^2+3k+1)+6(k^2+2k+1)}{6} $$

$$=\dfrac{(2k^3+3k^2+k)+(6k^2+12k+6)}{6} $$

$$=\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6} $$

Factorización de nuevo:

$$=\dfrac{2k^3+9k^2+13k+6}{6} $$

Darnos nuestra respuesta final simplificado: $$\boxed{\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}}$$

Answer 3

Pues bien, puedes facilitarte la vida utilizando el factor común de $k+1$ . Quitando esto, y también el factor de un sexto para la pulcritud, su expresión es $$\frac 1 6 (k+1)(k(2k+1)+6(k+1))$$ ¡Ahora sólo tienes una cuadrática que factorizar! $2k^2+7k+6$ . Puede utilizar los métodos conocidos para factorizar esto como usted busca.

Answer 4

Una buena idea para este tipo de cosas es utilizar Wolfram Alpha para asegurar que las dos cosas son, efectivamente, iguales. En este caso, lo son, así que podemos dedicar algo de tiempo a buscar el factor.

$$\begin{align} \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k + 1)^2 &= \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k + 1)^2}{6}\\ &= \frac{(k+1)(k(2k+1) + 6(k + 1))}{6}\\ &= \frac{(k+1)(2k^2 +7k + 6)}{6}\\ &= \frac{(k+1)(k+2)(2k + 3)}{6}\\ \end{align}$$

EDIT: Un truco útil es el que hice en el paso de la línea 1 a la línea 2: He descontado el $k+1$ inmediatamente, en lugar de expandir toda la expresión. Esto hace que sea más fácil de tratar - la mayoría de la gente tiene más práctica en la factorización de cuadráticos que de cúbicos.

EDITAR en respuesta al comentario: $$\begin{align} \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k + 1)^2}{6} &= \frac{k\color{red}{(k+1)}(2k+1) + 6\color{red}{(k+1)}(k+1)}{6}\\ &=\frac{\color{red}{(k+1)}\Big(k(2k+1) + 6(k+1)\Big)}{6} \end{align}$$