Ley de Gauss para una Ley modificada de Coulomb

Question

Un problema de un determinado libro popular sobre la electricidad y el magnetismo tratados con el resultado de la electrostática teoría si la ley de Coulomb fue sustituida por la siguiente ecuación:

$$ \mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{k^2} (1 + \frac{k}{\lambda}) \, exp(\frac{-k}{\lambda}) \,\, \hat{\mathbf{k}} $$

donde $\mathbf{k} = \mathbf{r} - \mathbf{r'}$. $\lambda$ es un gran constante. El principio de superposición, que todavía debe mantener.

Una parte del problema pide demostrar que para un punto de carga en $q$ en el origen (a través de una esfera de cualquier radio)

$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{a} + \frac{1}{\lambda^2}\int_V V \, d\tau = \frac{q}{\epsilon_0} $$

donde $V$ es el potencial escalar de $\mathbf{E}$ (el campo eléctrico todavía no tiene curl). Esto es algo así como la nueva "ley de Gauss" para la nueva ley de Coulomb.

La prueba fue sólo un cálculo, pero la pregunta que pide demostrar esto por $Q_{enc}$ (dentro de algunos de Gauss de la superficie) en lugar de sólo $q$.

Pensé que el segundo resultado tendría que llevar a cabo ya que, para cualquier configuración de cargos, separado de cada cargo $q_i$ en su propia esfera de radio muy pequeño (cada carga conseguir su propia esfera) y, a continuación, aplicar la "ley de Gauss" linealmente, ya que los campos eléctricos y potenciales todavía suman linealmente, de acuerdo con el principio de superposición. La suma de todas las $\frac{q_i}{\epsilon_0}$ términos luego agregar a a $\frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}$.

Sin embargo, mi libro proporciona una manera radicalmente diferente de respuesta, en lugar de demostrar que el punto de carga se aplica la ley para superficies no esféricas (esto se logra mediante la formación de una "abolladura" en el campo y, a continuación, probar que la integral es el mismo).

Es mi intento de prueba defectuoso de alguna manera? Y, ya que estoy confundido acerca de el libro de la respuesta, ¿cómo se podía demostrar la general de la ley de Gauss (con esta nueva ley de Coulomb)?

Answer 1

Creo que el problema con su prueba de ello es que el embalaje de un área con esferas sólo ocupa alrededor del 75% de un volumen, y este problema no desaparece al reducir las esferas hacia abajo para infinitesimal tamaños. No importa lo pequeño que reducir el tamaño de las esferas, los mismos embalaje propiedades deben tener.

La prueba se basa en decir que la integral sobre una gran superficie es equivalente a la adición de pequeños infinitesimal de superficies esféricas. Pero embalaje con esferas de no dar el 100% de eficiencia. De manera que el volumen de las pequeñas esferas no suman el volumen del interior de la superficie más grande, y las dos integrales a $\int V d\tau$ no será equivalente debido a que abarcan diferentes volúmenes.

Hay el mismo tipo de problema con la superficie de la integral. Si intenta añadir dos formas junto con un color en un lado, el campo eléctrico será igual, mientras que las normales será en direcciones opuestas, de modo que el color de la superficie se cancela y te deja con una superficie integral de sólo el límite de las dos formas. Con esférico de embalaje, las superficies no serán de color, y de modo que la superficie de la integral de la forma mayor será diferente para los más pequeños de la forma.

El libro demuestra que se puede hacer mella en la esfera de la integral debe seguir siendo el mismo. Por lo tanto, usted puede dibujar cualquier forma que desee alrededor de un punto de carga y la integral debe seguir siendo el mismo. Esto es equivalente a decir que se puede mover un punto de carga en cualquier lugar que desee dentro de una superficie arbitraria. Ahora usted puede utilizar la superposición. Si la ley se cumple para cualquier punto de carga en cualquier posición dentro de una superficie, y luego romper su arbitrario de la distribución de carga en la porción infinitesimal de los cargos de $dq$. La ley se aplica a todos los $dq$, por lo que debe mantener para $\int_V dq d\tau$.

Demostrando una "abolladura" en una esfera que no cambia la integral es equivalente a probar que para algunos arbitraria elemento de volumen, la integral es cero. Esto es porque hacer una abolladura es equivalente a restar un pequeño elemento de volumen. Esto en realidad no es demasiado difícil. Podemos encontrar $V$ simplemente por inspección el uso de $V=-\nabla E$. $$ V= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 k}e^{\frac{-k}{\lambda}}$$ Convertir la integral de superficie del campo eléctrico en un volumen integral con el teorema de la divergencia. El campo sólo depende de $r$, por lo que el uso de la forma esférica de $\nabla$ tenemos $$ \nabla \cdot \vec{E }= \frac{1}{k^2}\frac{\partial}{\partial k} (k^2\vec{E})= \frac{1}{k^2}\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\left( \frac{1}{\lambda} + (1 +\frac{k}{\lambda})\frac{-1}{\lambda}\right)e^{\frac{-k}{\lambda}}$$ $$ = \frac{q}{k^24\pi \epsilon_0} \frac{-k}{\lambda^2}e^{\frac{-k}{\lambda}}$$. Ahora simplemente reescribir la nueva de Gauss la ley. $$ \int_V \nabla \cdot \vec{E} d\tau + \frac{1}{\lambda^2}\int_V V d\tau= \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \lambda^2}\int_V \left( \frac{-1}{k}e^{\frac{-k}{\lambda}} + \frac{1}{k}e^{\frac{-k}{\lambda}}\right)d\tau.$$

En $k=0$ la ecuación golpes en cuenta el punto de carga. Para otros finito $k$ de los valores, esta ecuación es sólo cero. Esto significa que para cualquier elemento de volumen que no incluye el punto de carga, las dos integrales añadir a cero. Esto significa que usted puede agregar o restar cualquier loco superficies que usted desea de su original esfera mientras no se incluyen en el origen.