¿Cuál es la diferencia entre los signos + y - en las superposiciones de estados cuánticos?

Question

¿Cuál es la diferencia entre los estados

$$ \frac1{\sqrt{2}} |11\rangle+\frac1{\sqrt{2}} |00\rangle $$

y

$$ \frac1{\sqrt{2}} |11\rangle- \frac1{\sqrt{2}} |00\rangle~? $$

Todos ellos acabarán significando probabilidades. Entonces, ¿qué diferencia hay?

Answer 1

Esta pregunta llega al corazón de lo que hace que las amplitudes de la mecánica cuántica sean diferentes de las probabilidades clásicas. Es cierto que si se hacen mediciones en base a estados $\{\lvert 00 \rangle ,\lvert 11 \rangle\}$ entonces los dos estados tienen la misma estadística de medición, por lo que no se pueden distinguir. Lo interesante es que es posible medir en otras bases . En particular, existe una medida en la base $\{(\lvert 00 \rangle\ + \lvert 11 \rangle)/\sqrt{2},(\lvert 00 \rangle\ - \lvert 11 \rangle)/\sqrt{2}\}$ que puede distinguir perfectamente los dos estados.

Nótese que esta cuestión no tiene nada que ver con los estados enredados o de dos partículas en particular. Exactamente lo mismo podría decirse de los estados $$\lvert \pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \lvert 0\rangle \pm \lvert 1 \rangle ).$$ Estos estados son indistinguibles cuando se miden en el $\{ \lvert 0\rangle,\lvert 1 \rangle\}$ base, pero perfectamente distinguible en el $\{ \lvert +\rangle,\lvert - \rangle\}$ base.

Answer 2

Cuando se define una base de vectores, en su caso $\{ |1,1\rangle, |1,0\rangle, |0,1\rangle, |0,0\rangle \} $ se asigna a cada vector alguna fase, por ejemplo, el vector $|1,1\rangle$ tiene una cierta fase que no mencionas explícitamente fuera de los bra-kets. Ahora, en tus cálculos puedes tener superposiciones de estos vectores de la forma

$|\psi\rangle = ae^{i\alpha} |1,1\rangle + be^{i\beta}|1,0\rangle + ce^{i\gamma}|0,1\rangle + de^{i\delta}|0,0\rangle,$

con $a, b, c, d$ números positivos, es decir, además de las fases intrínsecas de los cuatro vectores, aparecen en la superposición con amplitudes complejas. Así, la amplitud de $|0,0\rangle$ tiene una diferencia de fase en comparación con la amplitud de $|1,1\rangle$ y esta diferencia es $\delta - \alpha$ .

Volviendo a sus funciones, en la primera superposición los vectores $|1,1\rangle$ y $|0,0\rangle$ están en fase, mientras que en la 2ª superposición están en antifase, hay una diferencia $\delta - \alpha = \pi$ entre ellos, es decir, se puede escribir

$ \frac {1}{\sqrt{2}}e^{i \cdot 0} |1,1\rangle + \frac {1}{\sqrt{2}}e^{i\pi}|0,0\rangle$ .

Answer 3

La diferencia entre esos dos estados está en su fase $|\psi(\alpha)\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|11\rangle+\exp[i\alpha]|00\rangle)$ para $\alpha=2\pi$ tiene la primera y para $\alpha=\pi$ tienes el segundo con el signo menos. Físicamente la diferencia radica en el patrón de interferencia que se puede ver una vez que se calculan las amplitudes de probabilidad, es decir $p_{\alpha}=\langle\psi(\alpha)|\psi(\alpha)\rangle=1$ si definimos $p_{\alpha\beta}=\langle\psi(\alpha)|\psi(\beta)\rangle=\frac{1}{2}(1+\exp[i(\beta-\alpha)])$ se puede ver ahora que variando $\alpha$ y $\beta$ se puede ajustar el grado de ortogonalidad de los dos vectores de estado, por ejemplo si $\beta-\alpha=\pi$ los dos estados son ortogonales y $p_{\alpha\beta}=0$ ¡en tal caso hacen una base que puedes usar para realizar medidas! En cambio, si no son completamente ortogonales, existe una correlación estadística no nula entre los dos, lo que significa que hay una probabilidad no nula de que uno interfiera con el resultado de una medida del otro en un experimento interferométrico: por ejemplo, tome los dos estados $\psi(\alpha)$ y $\psi(\beta)$ y hacerlos pasar por dos ramas diferentes de un interferómetro (un mach-zender quizás) que realizar una medida al final del mismo después de que los dos estados hayan interferido, lo que encontrará en la base computacional $\{|00\rangle,|11\rangle\}$ (que se puede considerar como la polarización $\{HH,VV\}$ ) es que los dos estados $\psi(\alpha)$ $\psi(\beta)$ al tener un valor no nulo $p_{\alpha\beta}$ ¡afectarán al recuento de polarizaciones de cada uno dando lugar a patrones de interferencia en dichos recuentos!

Answer 4

Lo más probable es que vea $$|01\rangle+|10\rangle$$ contra. $$|01\rangle-|10\rangle$$ ya que tienen el mismo valor propio para la energía y son difíciles de distinguir a menos que haya otra medida para diferenciarlas. $|00\rangle$ y $|11\rangle$ son muy diferentes en este sentido.