En mi opinión, una de las cosas más apasionantes de las matemáticas es descubrimiento . Es mucho más interesante descubrir las cosas por uno mismo que que alguien te las cuente. Por lo que has dicho en tu pregunta creo que puedo asumir que estarás de acuerdo conmigo en esto. Por cierto, no importa que otra persona haya descubierto lo mismo antes que tú: sigue siendo estupendo haber descubierto algo por ti mismo.
Así que, aunque hasta ahora sólo te hayan enseñado matemáticas de forma prescriptiva, puedes seguir avanzando a partir de ahí. Si tienes que resolver una serie de problemas parecidos, fíjate si los resultados tienen algo en común. ¿Quizá encuentres un atajo? ¿Quizá puedas encontrar alguna característica inesperada en los resultados? No esperes que los milagros ocurran demasiado rápido, pero si sigues con ello estoy seguro de que llegarás a alguna parte. Aquí tienes un par de sugerencias para empezar; como no tengo ni idea del nivel de matemáticas que tienes, puede que no sean apropiadas, pero espero que te den algunas ideas.
Primera sugerencia . Para $n=1,2,3,\ldots,10$ calcula la suma del primer $n$ cubos. Eso es, $$\displaylines{ 1^3\cr 1^3+2^3\cr 1^3+2^3+3^3\cr \vdots\cr 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3\ .\cr}$$ Ahora mira tu $10$ respuestas. ¿Ves algo especial en estos números? ¿Crees que el patrón se mantendrá? ¿Puedes demostrar que siempre será así?
Segunda sugerencia . Para $n=2,3,\ldots,10$ calcula el número $(n-1)!+1$ . En caso de que no lo hayas visto, el signo de exclamación denota un factorial, por ejemplo $5!=5\times4\times3\times2\times1$ . En otras palabras, calcula $$1!+1\,,\quad2!+1\,,\quad3!+1\,,\quad4!+1\ ,\ldots,\quad9!+1\ .$$ Ahora divide estos números por $2,3,4,5,\ldots,10$ respectivamente y anota los restos. Por ejemplo, en el tercer caso tenemos $3!+1=7$ y si dividimos por $4$ el resto es $3$ . ¿Notas algo en estos restos? ¿Puedes demostrar que siempre es cierto?
Por cierto, yo también secundaría la recomendación del libro de Polya que se hizo en un comentario.
