Resolviendo estas dos ecuaciones

Question

Resolver para $x$ y $y$ $$5x(1+ \frac {1}{x^2+y^2})=12$$ $$5y(1- \frac {1}{x^2+y^2})=4$$

Combinando estas dos ecuaciones obtenemos $$5x^3-15x^2y+5xy^2-15y^3+5x+15y=0$$ Lo que podría ser un factor si hubiera $-15y$ en lugar de $+15y$ para el último período.
Generalmente no publico preguntas que impliquen resolver ecuaciones simples, ¡pero me resulta muy difícil!

Answer 1

Tenemos $$1+ \frac {1}{x^2+y^2}= \frac {12}{5x}$$ y $$1- \frac {1}{x^2+y^2}= \frac {4}{5y},$$ que da $$ \frac {6}{x}+ \frac {2}{y}=5$$ o $$y= \frac {2x}{5x-6},$$ que después de la sustitución de la primera ecuación da

$$25x^4-120x^3+209x^2-156x+36=0$$ o $$(5x^2-12x+6.5)^2-2.5^2=0$$ o $$(x-2)(5x-2)(5x^2-12x+9)=0.$$ Id est, tenemos la respuesta: $$\{(2,1),(0.4,-0.2)\}$$

Answer 2

$ \dfrac {1}{x^2+y^2}=A$ $$5x(1+A)=12 \implies A= \frac {12}{5x}-1$$ $$5y(1-A)=4 \implies A=1- \frac {4}{5y}$$ ahora sabemos que el bu $A=A$ $$ \frac {12}{5x}-1=1- \frac {4}{5y} (*)$$ cuando escribimos $y$ en términos de $x$ o al revés en cualquiera de estas ecuaciones (arriba por supuesto) hemos terminado, una pista para el resto de multiplicar el sistema $(*)$ con $5xy$ ...