Unión de conjuntos contables contenidas en ellos no es necesariamente contable

Question

Es obvio que no existe un máximo conjunto enumerable en $\mathbb{R}$ (i.e un conjunto $A$ que si $A \subset B \subset \mathbb{R}$, e $B$ es contable $\Rightarrow$ $A=B$ ).

Estoy buscando un ejemplo cumplan estas condiciones:

Encontrar una familia $\{A_i\}_{i\in I}$, de tal manera que cada una de las $A_i$ es enumerable conjunto contenida en $\mathbb{R}$, y $\forall$ $i,j$ $\in$ $I$ $$A_i \subset A_j \quad\mbox{or} \quad A_j \subset A_i.$$ But $\bigcup\limits_{i\in I} A_i$ es no enumerable

Usando el lema de Zorn es fácil ver que hay debe ser un ejemplo que satisface las condiciones anteriores, de lo contrario serían existe un máximo conjunto enumerable en $\mathbb{R}$.

Es posible encontrar un ejemplo o es uno de esos casos que el Axioma de Elección genera establece que existen, pero que son imposibles de construir?

Answer 1

He aquí por qué sospecho que esto no puede ser explícitamente construido en $\mathbf{R}$,

Supongamos que hemos tenido una familia indizada de conjuntos. Deje $A = \bigcup_{i \in I} A_i$. A continuación, $A$ debe tener cardinalidad $\aleph_1$. Para ver esto, biject $A$ a un cardenal $\kappa$, lo que se considera también como un ordinal. En virtud de este bijection, vamos a ver cada conjunto $A_i$ como un ordinal contenida en $\kappa$. Así que para $i \in I$, $A_i < \kappa$ y $A_i$ es contable. Desde la unión de todos los contables ordinales es $\aleph_1 = \omega_1$ (el más pequeño de los innumerables ordinal) debemos tener $\kappa \le \aleph_1$ y desde $\aleph_0 < \kappa$ por supuesto, tenemos $\kappa = \aleph_1$.

Eso significa que esta construcción da un subconjunto de a $\mathbf{R}$ con cardinalidad $\aleph_1$. Tal vez un conjunto teórico puede me corrija, pero creo que no hay elección libre de construcciones de subconjuntos de a $\mathbf{R}$ con cardinalidad $\aleph_1$ (suponiendo que el continuum de la hipótesis es falsa).

Por otro lado, se puede construir una familia de conjuntos fuera de $\mathbf{R}$ sin opción de simplemente teniendo en cuenta el más pequeño de los innumerables ordinal, $\omega_1$ que es la unión de todos los contables de los números ordinales. Los números ordinales son, por definición, linealmente ordenado.